Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem, ou seja, \frac{\partial^{2} f(.)}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} f(.)}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^{2} f(.)}{\partial y^{2}} e \frac{\partial^{2} f(.)}{\partial y \partial x}.
f(x, y)=e^{x e^{y}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y)=e^{x e^{y}}.
As derivadas que precisamos calcular são:
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}},
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y},
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}},
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}.
Informações dadas:
  • A função explícita \,f(x,y)=e^{x e^{y}}\,.
  • Não há restrição de domínio; a função é suave (infinitamente diferenciável), pois é composição de exponenciais.

Passo 2

Antes de partir para as segundas derivadas, vamos achar as primeiras derivadas e revisar as regras usadas.
Regras que vamos usar:
  • Regra da cadeia (para uma função composta \,e^{g(x,y)}): a derivada é \dfrac{\partial}{\partial x} e^{g(x,y)} = \dfrac{\partial g}{\partial x}\,e^{g(x,y)}.
  • Regra do produto (se aparecer produto u(x,y)v(x,y)): \dfrac{\partial}{\partial x}(uv)=u_x v + u v_x.
  • Em derivadas parciais, ao derivar em relação a x tratamos y como constante e vice-versa.
Agora calculemos \dfrac{\partial f}{\partial x}. Aqui g(x,y)=x e^{y}. Então
\frac{\partial g}{\partial x}=e^{y}.
Aplicando a cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} e^{x e^{y}} = e^{y}\,e^{x e^{y}}.

Passo 3

Calculemos \dfrac{\partial f}{\partial y}. Novamente g(x,y)=x e^{y}. Agora
\frac{\partial g}{\partial y}=x e^{y}.
Aplicando a cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} e^{x e^{y}} = x e^{y}\,e^{x e^{y}}.
Comentário rápido: faz sentido — a derivada em y traz um fator x e^{y} porque o expoente depende de y por meio de e^{y}.

Passo 4

Agora vamos à segunda derivada \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}. Partimos de
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{y}\,e^{x e^{y}}.
Ao diferenciar em relação a x, o fator e^{y} é constante (tratamos y como constante). Aplicando a cadeia à parte e^{x e^{y}}:
\frac{\partial}{\partial x} e^{x e^{y}} = e^{y}\,e^{x e^{y}}.
Portanto, pelo fator constante e^{y},
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = e^{y}\cdot\big(e^{y}\,e^{x e^{y}}\big) = e^{2y}\,e^{x e^{y}}.

Passo 5

Agora \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}. Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial x}=e^{y}\,e^{x e^{y}} e derivamos em relação a y. Aqui usamos a regra do produto: seja u(y)=e^{y} e v(y)=e^{x e^{y}}. Então
\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{y}\,e^{x e^{y}}\big) = \underbrace{\frac{d}{dy}e^{y}}_{=e^{y}}\cdot e^{x e^{y}} + e^{y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}e^{x e^{y}}.
Calcule a segunda parte usando cadeia: \dfrac{\partial}{\partial y}e^{x e^{y}} = x e^{y}\,e^{x e^{y}}. Substituindo:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = e^{y}\,e^{x e^{y}} + e^{y}\cdot\big(x e^{y}\,e^{x e^{y}}\big) = e^{y}\,e^{x e^{y}}\big(1 + x e^{y}\big).

Passo 6

Calculemos \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} para verificar a igualdade das mistas. Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial y}=x e^{y}\,e^{x e^{y}} e derivamos em relação a x. Use regra do produto tratando x variável e y constante:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x e^{y}\,e^{x e^{y}}\big) = \underbrace{\frac{\partial}{\partial x}(x e^{y})}_{=e^{y}}\cdot e^{x e^{y}} + x e^{y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}e^{x e^{y}}.
Aqui \dfrac{\partial}{\partial x}e^{x e^{y}} = e^{y}\,e^{x e^{y}}. Substituindo:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} = e^{y}\,e^{x e^{y}} + x e^{y}\cdot\big(e^{y}\,e^{x e^{y}}\big) = e^{y}\,e^{x e^{y}}\big(1 + x e^{y}\big).
Observação: como a função é suave, a regra de Clairaut (igualdade das derivadas mistas) vale, e de fato \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}.

Passo 7

Finalmente \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}. Partimos de
\frac{\partial f}{\partial y}=x e^{y}\,e^{x e^{y}}.
Trata-se de um produto entre A(y)=x e^{y} (aqui x é constante) e B(y)=e^{x e^{y}}. Pela regra do produto:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = \frac{d}{dy}\big(x e^{y}\big)\,e^{x e^{y}} + x e^{y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}e^{x e^{y}}.
Calculando as partes: \dfrac{d}{dy}(x e^{y})=x e^{y} e \dfrac{\partial}{\partial y}e^{x e^{y}}=x e^{y}\,e^{x e^{y}}. Substituindo,
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = x e^{y}\,e^{x e^{y}} + x e^{y}\cdot\big(x e^{y}\,e^{x e^{y}}\big) = x e^{y}\,e^{x e^{y}}\big(1 + x e^{y}\big).

Resposta

\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = e^{2y}\,e^{x e^{y}}
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = e^{y}\,e^{x e^{y}}\big(1 + x e^{y}\big)
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = x e^{y}\,e^{x e^{y}}\big(1 + x e^{y}\big)
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} = e^{y}\,e^{x e^{y}}\big(1 + x e^{y}\big)

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