Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem, ou seja, \frac{\partial^{2} f(.)}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} f(.)}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^{2} f(.)}{\partial y^{2}} e \frac{\partial^{2} f(.)}{\partial y \partial x}. f(x, y)=e^{x e^{y}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y)=e^{x e^{y}}.
As derivadas que precisamos calcular são:
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}},
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y},
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}},
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}.
Informações dadas:
A função explícita \,f(x,y)=e^{x e^{y}}\,.
Não há restrição de domínio; a função é suave (infinitamente diferenciável), pois é composição de exponenciais.
Passo 2
Antes de partir para as segundas derivadas, vamos achar as primeiras derivadas e revisar as regras usadas.
Regras que vamos usar:
Regra da cadeia (para uma função composta \,e^{g(x,y)}): a derivada é \dfrac{\partial}{\partial x} e^{g(x,y)} = \dfrac{\partial g}{\partial x}\,e^{g(x,y)}.
Regra do produto (se aparecer produto u(x,y)v(x,y)): \dfrac{\partial}{\partial x}(uv)=u_x v + u v_x.
Em derivadas parciais, ao derivar em relação a x tratamos y como constante e vice-versa.
Agora calculemos \dfrac{\partial f}{\partial x}. Aqui g(x,y)=x e^{y}. Então
Agora \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}. Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial x}=e^{y}\,e^{x e^{y}} e derivamos em relação a y. Aqui usamos a regra do produto: seja u(y)=e^{y} e v(y)=e^{x e^{y}}. Então
Calcule a segunda parte usando cadeia: \dfrac{\partial}{\partial y}e^{x e^{y}} = x e^{y}\,e^{x e^{y}}. Substituindo:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = e^{y}\,e^{x e^{y}} + e^{y}\cdot\big(x e^{y}\,e^{x e^{y}}\big) = e^{y}\,e^{x e^{y}}\big(1 + x e^{y}\big).
Passo 6
Calculemos \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} para verificar a igualdade das mistas. Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial y}=x e^{y}\,e^{x e^{y}} e derivamos em relação a x. Use regra do produto tratando x variável e y constante:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} = e^{y}\,e^{x e^{y}} + x e^{y}\cdot\big(e^{y}\,e^{x e^{y}}\big) = e^{y}\,e^{x e^{y}}\big(1 + x e^{y}\big).
Observação: como a função é suave, a regra de Clairaut (igualdade das derivadas mistas) vale, e de fato \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}.
Passo 7
Finalmente \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}. Partimos de