Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem, ou seja, \frac{\partial^{2} f(.)}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} f(.)}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^{2} f(.)}{\partial y^{2}} e \frac{\partial^{2} f(.)}{\partial y \partial x}.
f(x, y)=\frac{x y}{x-y}

Passo 1

O enunciado pede: determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=\frac{xy}{x-y},
ou seja, calcular
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é dada por \displaystyle f(x,y)=\frac{xy}{x-y}.
  • O domínio natural da função é todo par (x,y) com x\neq y (pois há divisão por x-y).
  • Para calcular derivadas parciais, ao derivar em relação a uma variável tratamos a outra como constante.
  • Vou primeiro calcular as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivar novamente para obter as de segunda ordem.

Passo 2

Lembrete das regras que vou usar (explicação didática e simples):
  • Regra do quociente: se g(u)=\dfrac{u}{v} com u e v funções da variável, então
g'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui, ao computar \partial/\partial x tratamos y como constante; ao computar \partial/\partial y tratamos x como constante.
  • Regra da cadeia: se temos (h(z))^{n}, então \dfrac{d}{dz}(h(z))^{n}=n(h(z))^{n-1}h'(z).
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dz}(ab)=a'\,b+a\,b'.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Escrevo u(x,y)=xy e v(x,y)=x-y. Ao derivar em x:
u_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(xy)=y,\qquad v_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(x-y)=1.
Pela regra do quociente,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{u_{x}v-u v_{x}}{v^{2}} =\frac{y(x-y)-xy\cdot 1}{(x-y)^{2}}.
Agora simplifico o numerador:
y(x-y)-xy = yx-y^{2}-xy = -y^{2}.
Logo
\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{y^{2}}{(x-y)^{2}}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Usando os mesmos u=xy e v=x-y, ao derivar em y:
u_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(xy)=x,\qquad v_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(x-y)=-1.
Pela regra do quociente,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{u_{y}v-u v_{y}}{v^{2}} =\frac{x(x-y)-xy\cdot(-1)}{(x-y)^{2}}.
Simplificando o numerador:
x(x-y)-xy\cdot(-1)=x^{2}-xy+xy = x^{2}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2}}{(x-y)^{2}}.

Passo 5

Observação sobre existência das segundas derivadas:
  • As expressões obtidas para \partial f/\partial x e \partial f/\partial y são funções racionais lisas no domínio x\neq y. Assim as derivadas de segunda ordem existem para x\neq y.
  • Para calcular as segundas derivadas vou derivar as expressões já encontradas, sempre tratando a outra variável como constante quando apropriado.

Passo 6

Calcular \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(-\frac{y^{2}}{(x-y)^{2}}\right).
Aqui y é constante. Escrevo -y^{2} como coeficiente e uso regra da cadeia para (x-y)^{-2}:
\frac{\partial}{\partial x}\big((x-y)^{-2}\big) = -2 (x-y)^{-3}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x-y) = -2 (x-y)^{-3}\cdot 1 = -2 (x-y)^{-3}.
Multiplicando pelo coeficiente -y^{2}:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = -y^{2}\cdot\big(-2 (x-y)^{-3}\big) = 2\,\frac{y^{2}}{(x-y)^{3}}.
Portanto
\boxed{\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{2y^{2}}{(x-y)^{3}}.}

Passo 7

Calcular \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{x^{2}}{(x-y)^{2}}\right).
Aqui x é constante. Novamente uso regra da cadeia para (x-y)^{-2}. Agora
\frac{\partial}{\partial y}\big((x-y)^{-2}\big) = -2 (x-y)^{-3}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x-y) = -2 (x-y)^{-3}\cdot(-1) = 2 (x-y)^{-3}.
Multiplicando pelo coeficiente x^{2}:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = x^{2}\cdot 2 (x-y)^{-3} = 2\,\frac{x^{2}}{(x-y)^{3}}.
Portanto
\boxed{\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\frac{2x^{2}}{(x-y)^{3}}.}

Passo 8

Calcular \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right).
Já temos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{y^{2}}{(x-y)^{2}}. Vou derivar isso em y, tratanto x como constante. Uso a regra do produto (aqui o “produto” é -y^{2} vezes (x-y)^{-2}):
Primeiro, escrevo
\frac{\partial f}{\partial x} = -y^{2}\,(x-y)^{-2}.
Derivando em y:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} = -\big( 2y\,(x-y)^{-2} + y^{2}\cdot \frac{\partial}{\partial y}\big((x-y)^{-2}\big)\big).
Já calculamos \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\big((x-y)^{-2}\big)=2(x-y)^{-3}. Substituindo:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} = -\big( 2y\,(x-y)^{-2} + y^{2}\cdot 2 (x-y)^{-3}\big).
Coloco em denominador comum (x-y)^{3}:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} = -\frac{2y(x-y) + 2y^{2}}{(x-y)^{3}} = -\frac{2y(x-y+y)}{(x-y)^{3}} = -\frac{2yx}{(x-y)^{3}}.
Portanto
\boxed{\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} = -\frac{2xy}{(x-y)^{3}}.}

Passo 9

Calcular \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Já temos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2}}{(x-y)^{2}}. Derivo em x, tratando y como constante. Uso regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2}\,(x-y)^{-2}.
Derivando em x:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} = 2x\,(x-y)^{-2} + x^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big((x-y)^{-2}\big).
Já vimos \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\big((x-y)^{-2}\big) = -2 (x-y)^{-3}. Substituindo:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} = \frac{2x}{(x-y)^{2}} - \frac{2x^{2}}{(x-y)^{3}}.
Coloco em denominador comum (x-y)^{3}:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} = \frac{2x(x-y) - 2x^{2}}{(x-y)^{3}} = \frac{2x(x-y-x)}{(x-y)^{3}} = -\frac{2xy}{(x-y)^{3}}.
Portanto
\boxed{\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} = -\frac{2xy}{(x-y)^{3}}.}

Passo 10

Comentário final curto e motivador:
  • Observa que \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} no domínio x\neq y, como esperado (teorema de Clairaut) porque f é suficientemente suave ali.
  • Bom trabalho! Se quiser, posso mostrar um pequeno exemplo numérico para checar uma das derivadas ou explicar novamente a regra do quociente com outro exemplo rápido.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{2y^{2}}{(x-y)^{3}}
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=-\frac{2xy}{(x-y)^{3}}
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\frac{2x^{2}}{(x-y)^{3}}
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=-\frac{2xy}{(x-y)^{3}}

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