Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem, ou seja,
e
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem de
ou seja, calcular
Informações relevantes fornecidas:
- A função é dada por
. - O domínio natural da função é todo par
com (pois há divisão por ). - Para calcular derivadas parciais, ao derivar em relação a uma variável tratamos a outra como constante.
- Vou primeiro calcular as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivar novamente para obter as de segunda ordem.
Passo 2
Lembrete das regras que vou usar (explicação didática e simples):
- Regra do quociente: se
com e funções da variável, então
Aqui, ao computar
tratamos
como constante; ao computar
tratamos
como constante.
- Regra da cadeia: se temos
, então . - Regra do produto:
.
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Calcular
.
Escrevo
e
. Ao derivar em
:
Pela regra do quociente,
Agora simplifico o numerador:
Logo
Passo 4
Calcular
.
Usando os mesmos
e
, ao derivar em
:
Pela regra do quociente,
Simplificando o numerador:
Portanto
Passo 5
Observação sobre existência das segundas derivadas:
- As expressões obtidas para
e são funções racionais lisas no domínio . Assim as derivadas de segunda ordem existem para . - Para calcular as segundas derivadas vou derivar as expressões já encontradas, sempre tratando a outra variável como constante quando apropriado.
Passo 6
Calcular
.
Aqui
é constante. Escrevo
como coeficiente e uso regra da cadeia para
:
Multiplicando pelo coeficiente
:
Portanto
Passo 7
Calcular
.
Aqui
é constante. Novamente uso regra da cadeia para
. Agora
Multiplicando pelo coeficiente
:
Portanto
Passo 8
Calcular
.
Já temos . Vou derivar isso em
, tratanto
como constante. Uso a regra do produto (aqui o “produto” é
vezes
):
Já temos
Primeiro, escrevo
Derivando em
:
Já calculamos
. Substituindo:
Coloco em denominador comum
:
Portanto
Passo 9
Calcular
.
Já temos . Derivo em
, tratando
como constante. Uso regra do produto:
Já temos
Derivando em
:
Já vimos
. Substituindo:
Coloco em denominador comum
:
Portanto
Passo 10
Comentário final curto e motivador:
- Observa que
no domínio , como esperado (teorema de Clairaut) porque é suficientemente suave ali. - Bom trabalho! Se quiser, posso mostrar um pequeno exemplo numérico para checar uma das derivadas ou explicar novamente a regra do quociente com outro exemplo rápido.