Considere um fluido com viscosidade dinâmica mu; distribuição de velocidade para um escoamento laminar de um fluido newtoniano totalmente desenvolvido num duto circular dado pela Equação 1. Determine a força de cisalhamento por unidade de área ( F / A ) que o fluido exerce na parede das placas.
Vxy=Vmax cdot[1-(2 yh)^2] Equação 1

Passo 1

Beleza, aqui o que a questão tá pedindo: a gente tem um fluido newtoniano, viscosidade dinâmica μ, escoamento laminar totalmente desenvolvido entre duas placas (ou “duto circular” no enunciado, mas o perfil dado é o de canal plano). A velocidade varia segundo
Vxy = Vmaxl[1 - l(tfrac2yhr)^2r], tagEquação 1çã
O que queremos é a força de cisalhamento por unidade de área na parede, ou seja, FA, que nada mais é do que a tensão de cisalhamento tau no ponto de contato entre fluido e parede.
Conteúdo: Mecânica dos Fluidos (cisalhamento em fluido newtoniano). Vamos precisar usar a relação
tau = mu,dVdy
e depois avaliar essa derivada na parede (onde y = pm h/2).

Passo 2

Primeiro, lembra do que é fluido newtoniano: ele tem tensão de cisalhamento proporcional ao gradiente de velocidade. Isso se escreve
tau(y) ;=; mu,dVxydy,
Aqui tau é a força por área que o fluido “puxa” na placa.

Passo 3

Vamos achar dfracdVxydy. Pegando a Equação 1:
Vxy = Vmaxl[1 - (2y/h)^2r]
Derivando em relação a y:
$$\frac{dV_{xy}}{dy} = V_{\max},\frac{d}{dy}\Bigl[1 - 4,\frac{y2}{h2}\Bigr]
= V_{\max}\Bigl[0 - 4\cdot\frac{2y}{h^2}\Bigr]
= -,\frac{8,V_{\max},y}{h^2}.$$

Passo 4

A parede fica em y = pm tfrach2. O que importa pra gente é o módulo da tensão ali (força por área). Substituindo y = h/2:
$$\left.\frac{dV_{xy}}{dy}\right|{y=h/2} = -,\frac{8,V{\max}}{h^2},\frac{h}{2}
= -,\frac{4,V_{\max}}{h},. $$
O sinal negativo só indica que a velocidade decresce em direção à placa, mas a gente toma módulo pra tensão.

Passo 5

Logo, a tensão de cisalhamento na parede é
$$\tau_w = \mu;\Bigl|\frac{dV_{xy}}{dy}\Bigr|_{y=h/2}
= \mu;\frac{4,V_{\max}}{h},. $$

Resposta

FA ;=;tauw ;=;4,mu,Vmaxh,

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