Discuta o papel da tensão de cisalhamento e da tensão normal para o caso do fluido em repouso;
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede pra gente discutir o que acontece com as tensões de cisalhamento e as tensões normais num fluido que está em repouso. O conteúdo aqui é Mecânica dos Fluidos – mais especificamente Estática dos Fluidos – e a teoria fundamental que vamos usar é o conceito de tensor de tensões em fluidos e a condição de equilíbrio estático.
O que vamos precisar:
- Entender o que é tensor de tensões em um meio contínuo;
- Saber que em fluidos em repouso não há velocidade, logo não há gradiente de velocidade e nem cisalhamento interno;
- Lembrar que a única tensão interna num fluido em repouso é a pressão, que é normal à superfície e isotrópica.
Passo 2
Teoria do tensor de tensões em fluidos:
Num meio contínuo, cada pedacinho de área infinitesimal sofre forças internas que podem ser divididas em componentes normais (perpendiculares à área) e tangenciais (cisalhamento). Essas forças se organizam no chamado tensor de tensões .
Num meio contínuo, cada pedacinho de área infinitesimal sofre forças internas que podem ser divididas em componentes normais (perpendiculares à área) e tangenciais (cisalhamento). Essas forças se organizam no chamado tensor de tensões
Em geral:
onde
é a normal à superfícies.
Passo 3
Condição de fluido em repouso:
Se o fluido não se mexe, a velocidade . Isso implica que não há gradiente de velocidade, então a parte viscosa (que gera tensões de cisalhamento) some. Em outras palavras, todas as componentes de cisalhamento do tensor de tensões são zero:
Se o fluido não se mexe, a velocidade
Passo 4
Tensão normal = pressão:
O único “stress” que resta é o normal, e nos fluidos em repouso ele é igual à pressão interna, que age de forma igual em todas as direções (isotrópica). Matematicamente dizemos:
O único “stress” que resta é o normal, e nos fluidos em repouso ele é igual à pressão interna, que age de forma igual em todas as direções (isotrópica). Matematicamente dizemos:
onde
é o delta de Kronecker (
se
, e 0 caso contrário) e o sinal menos vem do fato de que a pressão é considerada compressiva.
Passo 5
Discussão final:
- Tensão de cisalhamento (
, ) em fluido em repouso = 0, porque não há escoamento nem viscosidade agindo. - Tensão normal = pressão
, isotrópica e perpendicular a qualquer superfície interna. - Isso garante que todas as direções no fluido fiquem “espremidas” igualmente, e é por isso que, em estática, basta trabalhar com
para descrever as tensões internas.
Resposta
Em um fluido em repouso, as tensões de cisalhamento são zero e as tensões normais correspondem unicamente à pressão, que é isotrópica e dada por
.