Discuta o papel da tensão de cisalhamento e da tensão normal para o caso do fluido em repouso;

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra gente discutir o que acontece com as tensões de cisalhamento e as tensões normais num fluido que está em repouso. O conteúdo aqui é Mecânica dos Fluidos – mais especificamente Estática dos Fluidos – e a teoria fundamental que vamos usar é o conceito de tensor de tensões em fluidos e a condição de equilíbrio estático.
O que vamos precisar:
  1. Entender o que é tensor de tensões em um meio contínuo;
  2. Saber que em fluidos em repouso não há velocidade, logo não há gradiente de velocidade e nem cisalhamento interno;
  3. Lembrar que a única tensão interna num fluido em repouso é a pressão, que é normal à superfície e isotrópica.

Passo 2

Teoria do tensor de tensões em fluidos:
Num meio contínuo, cada pedacinho de área infinitesimal sofre forças internas que podem ser divididas em componentes normais (perpendiculares à área) e tangenciais (cisalhamento). Essas forças se organizam no chamado tensor de tensões Força por unidade de área = sigmaij,nj .
Em geral:
çá
onde é a normal à superfícies.

Passo 3

Condição de fluido em repouso:
Se o fluido não se mexe, a velocidade sigmaijpara ineq j=;0 . Isso implica que não há gradiente de velocidade, então a parte viscosa (que gera tensões de cisalhamento) some. Em outras palavras, todas as componentes de cisalhamento do tensor de tensões são zero:

Passo 4

Tensão normal = pressão:
O único “stress” que resta é o normal, e nos fluidos em repouso ele é igual à pressão interna, que age de forma igual em todas as direções (isotrópica). Matematicamente dizemos:
sigmaij = -,p,de
onde é o delta de Kronecker ( se , e 0 caso contrário) e o sinal menos vem do fato de que a pressão é considerada compressiva.

Passo 5

Discussão final:
  • Tensão de cisalhamento ( , ) em fluido em repouso = 0, porque não há escoamento nem viscosidade agindo.
  • Tensão normal = pressão , isotrópica e perpendicular a qualquer superfície interna.
  • Isso garante que todas as direções no fluido fiquem “espremidas” igualmente, e é por isso que, em estática, basta trabalhar com para descrever as tensões internas.

Resposta

Em um fluido em repouso, as tensões de cisalhamento são zero e as tensões normais correspondem unicamente à pressão, que é isotrópica e dada por .

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