Considere um foguete em repouso no espaço. Qual deve ser a razão de sua massa (razão entre a massa iniciall e a final) de modo que, depois de ligado o seu motor, a intensidade da velocidade do foguete scja igual à intensidade da velocidade de escape.
Passo 1
O enunciado diz: “Temos um foguete parado no espaço. Queremos que, depois de ligar o motor, a velocidade dele seja igual à velocidade de escape.”
Conteúdo:
Conteúdo:
- Equação do foguete (Tsiolkovsky)
- Fórmula da velocidade de escape
Precisamos da equação
e da velocidade de escape
,
ondeé a velocidade efetiva dos gases de exaustão, e são massas inicial e final, constante gravitacional, massa do corpo e seu raio.
Passo 2
Primeiro, a equação do foguete de Tsiolkovsky:
.
Aqui:
Aqui:
-
é o ganho de velocidade do foguete graças ao motor -
é a velocidade com que os gases saem do bocal -
é o logaritmo natural
Essa fórmula vem de conservar momento linear enquanto queima combustível e joga massa para trás.
Passo 3
A velocidade de escape de um corpo (por exemplo, a Terra) é
.
Isso vem de igualar energia cinética com a energia potencial gravitacional
para que a partícula chegue a “infinito” com velocidade zero.
Isso vem de igualar energia cinética
Passo 4
Queremos que a velocidade adquirida pelo foguete seja exatamente
. Então igualamos:
.
Isolando a razão de massas:
Isolando a razão de massas:
Resposta
ou seja, a razão entre a massa inicial e final deve ser