Considere um foguete em repouso no espaço. Qual deve ser a razão de sua massa (razão entre a massa iniciall e a final) de modo que, depois de ligado o seu motor, a intensidade da velocidade do foguete scja igual à intensidade da velocidade de escape.

Passo 1

O enunciado diz: “Temos um foguete parado no espaço. Queremos que, depois de ligar o motor, a velocidade dele seja igual à velocidade de escape.”
Conteúdo:
  • Equação do foguete (Tsiolkovsky)
  • Fórmula da velocidade de escape
    Precisamos da equação
    v = ve lnl(tfracm0mfr)
    e da velocidade de escape
    vrm esc = raiztfrac2GMR,,
    onde ve é a velocidade efetiva dos gases de exaustão, m0 e mf são massas inicial e final, G constante gravitacional, M massa do corpo e R seu raio.

Passo 2

Primeiro, a equação do foguete de Tsiolkovsky:
v = ve ln!l(tfracm0mfr),.
Aqui:
  • v é o ganho de velocidade do foguete graças ao motor
  • ve é a velocidade com que os gases saem do bocal
  • ln é o logaritmo natural
    Essa fórmula vem de conservar momento linear enquanto queima combustível e joga massa para trás.

Passo 3

A velocidade de escape de um corpo (por exemplo, a Terra) é
vrm esc = raiztfrac2GMR,.
Isso vem de igualar energia cinética (tfrac12 m v^2) com a energia potencial gravitacional (tfracGMmR) para que a partícula chegue a “infinito” com velocidade zero.

Passo 4

Queremos que a velocidade adquirida pelo foguete seja exatamente vrm esc. Então igualamos:
ve ln!l(tfracm0mfr) = vrm esc,.
Isolando a razão de massas:
ln!l(tfracm0mfr) = vrm escve Longrightarrow m0mf = exp!l(vrm escver),

Resposta

m0mf = exp!l(vrm escver),,
ou seja, a razão entre a massa inicial e final deve ser e^vrm esc/ve,.

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