Questão 2 [Total: 3,5 pt ] Uma casca esférica não condutora de raio interno a1 e raio externo b1 é uniformemente carregada com densidade de carga rho1 dentro de outra casca esférica não condutora de raio interno a2 e raio externo 2 que também é uniformemente carregada com densidade de carga rho2. Encontre o campo elétrico no ponto P a uma distância r do centro comum tal que
r>b2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas cascas esféricas não condutoras, cada uma com uns raios internos e externos diferentes e densidade de carga também diferente. A primeira casca tem raio interno a1 e externo b1 com densidade de carga rho1, e a segunda tem raio interno a2 e externo b2 com densidade de carga rho2. A missão é achar o campo elétrico no ponto P que está a uma distância r do centro das cascas, onde r > b2. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico à carga total envolvida.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir quanto de carga tem em cada casca. A carga total Q de uma casca esférica é a densidade de carga rho multiplicada pelo volume da casca. O volume de uma casca esférica é o volume da esfera maior menos o volume da menor.

Passo 3

Vamos calcular o volume da primeira casca:
V1 = 43 pi b1^3 - 43 pi a1^3 = 43 pi (b1^3 - a1^3)
Então, a carga total Q1 é:
Q1 = rho1 times V1 = rho1 times 43 pi (b1^3 - a1^3)

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para a segunda casca:
V2 = 43 pi b2^3 - 43 pi a2^3 = 43 pi (b2^3 - a2^3)
E a carga total Q2 é:
Q2 = rho2 times V2 = rho2 times 43 pi (b2^3 - a2^3)

Passo 5

Como o ponto P está fora de ambas as cascas ( r > b2), o campo elétrico total no ponto P é como se toda a carga estivesse concentrada no centro. A Lei de Coulomb nos dá o campo elétrico E assim:
E = 14 pi varepsilon0 times Qtotalr^2
Onde Qtotal = Q1 + Q2.

Passo 6

Substituindo Q1 e Q2 na expressão:
Qtotal = rho1 times 43 pi (b1^3 - a1^3) + rho2 times 43 pi (b2^3 - a2^3)
Então, o campo elétrico fica:
E = 14 pi varepsilon0 times rho1 (b1^3 - a1^3) + rho2 (b2^3 - a2^3) r^2
Simplificando a expressão:
E = rho1 (b1^3 - a1^3) + rho2 (b2^3 - a2^3) 3 varepsilon0 r^2

Resposta

O campo elétrico no ponto P é:
E = rho1 (b1^3 - a1^3) + rho2 (b2^3 - a2^3) 3 , varepsilon0 , r^2

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