Considere uma fonte de calor cilindrica sólida de raio r_{1} à temperatura constante T1 no centro de uma camada sólida cilíndrica de raio r_{2} mantida externamente a temperatura T 2 . A taxa na qual o calor é transferido entre as superficies cilindricas é proporcional a:
Considere uma fonte de calor cilindrica sólida de raio r_{1} à temperatura constante T1 no centro de uma camada sólida cilíndrica de raio r_{2} mantida externamente a temperatura T2. A taxa na qual o calor é transferido entre as superfícies cilíndricas é proporcional a:
Escolha uma opção:
a) \left(1 / r_{2}-1 / r_{1}\right)^{-1}
b) 1 / r_{2}-1 / r_{1}
c) r_{2}^{2}-r_{1}^{2}
d) \ln r_{2}-\ln r_{1}
e) T_{2}-T_{1}

Passo 1

O enunciado trata de condução de calor em regime estacionário através de uma casca cilíndrica de raio interno r_{1} a temperatura T_{1} e raio externo r_{2} a temperatura T_{2}. O que precisamos é da lei de Fourier em coordenadas cilíndricas, que diz que a taxa de calor por comprimento Q' satisfaz
Q' = -\,k\,2\pi r\,\frac{dT}{dr},
onde k é a condutividade térmica e r a coordenada radial.

Passo 2

Como o problema está em regime estacionário e há simetria cilíndrica, Q' é constante em r. Integramos
Q' \;=\; -\,k\,2\pi\,r\,\frac{dT}{dr} \quad\Longrightarrow\quad \int_{T_{1}}^{T_{2}} dT \;=\; -\frac{Q'}{2\pi k}\,\int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dr}{r}.

Passo 3

Fazendo as integrais, obtemos
T_{2}-T_{1} \;=\; -\frac{Q'}{2\pi k}\,\bigl[\ln(r_{2})-\ln(r_{1})\bigr] \;\;\Longrightarrow\;\; Q' \;=\; \frac{2\pi k\,(T_{1}-T_{2})}{\ln(r_{2})-\ln(r_{1})}.
Logo, a taxa de calor é proporcional a
\frac{1}{\ln(r_{2})-\ln(r_{1})}.

Passo 4

Entre as alternativas dadas, a que envolve exatamente \ln(r_{2})-\ln(r_{1}) é a letra (d).

Resposta

d) \ln r_{2}-\ln r_{1}

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