O aquecedor de uma casa estraga de manhã, quando a temperatura externa é T_{e}=-6{ }^{\circ} \mathrm{C} em consequência, a temperatura interna cai de 26^{\circ} \mathrm{C} para 16^{\circ} \mathrm{C} em 45 minutos. Quanto tempo levará para que a temperatura interna caia outros 7^{\circ} \mathrm{C} ? Suponha que a temperatura externa permaneça constante e que seja válida a Lei de Resfriamento de Newton:
d(\Delta T) / d t=-k \Delta T
onde k é uma constante. Resposta em formato de número inteiro
Resposta:
\mathrm{O}_{\mathrm{min}} \mathrm{Os}_{\mathrm{s}} \mathrm{Oh}

Passo 1

O enunciado aplica a Lei de Resfriamento de Newton, que diz
\frac{d(\Delta T)}{dt}=-k\,\Delta T
com solução
\Delta T(t)=\Delta T_0 e^{-kt},
onde \Delta T=T_{\text{interna}}-T_{\text{externa}}. Dados: T_{\text{externa}}=-6^\circ\mathrm{C}; a temperatura interna cai de 26^\circ\mathrm{C} para 16^\circ\mathrm{C} em 45 min. Queremos o tempo para cair mais 7^\circ\mathrm{C}, ou seja, de 16^\circ\mathrm{C} para 9^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Calculamos o coeficiente k. Inicialmente
\Delta T_0 = 26 - (-6) = 32,\qquad \Delta T(45) = 16 - (-6) = 22.
Na solução \Delta T(45)=\Delta T_0 e^{-45k} temos
22 = 32\,e^{-45k} \quad\Longrightarrow\quad e^{-45k}=\frac{22}{32}=\frac{11}{16} \quad\Longrightarrow\quad -45k=\ln\!\bigl(\tfrac{11}{16}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{1}{45}\ln\!\bigl(\tfrac{16}{11}\bigr).

Passo 3

Agora queremos \Delta t tal que \Delta T passe de 22 para
\Delta T_{\text{final}} = 9 - (-6) = 15.
Usando
\frac{\Delta T_{\text{final}}}{22} = e^{-k\,\Delta t} \quad\Longrightarrow\quad \Delta t =\frac{1}{k}\ln\!\bigl(\tfrac{22}{15}\bigr).
Substituindo k:
\Delta t =45\;\frac{\ln(22/15)}{\ln(16/11)} \approx 45\;\frac{0,3838}{0,3747} \approx 46,18\\ \text{min}.

Passo 4

Convertendo 46,18 min em minutos inteiros e segundos:
46\\ \text{min}\quad\text{e}\quad 0{,}18\times60\approx10{,}8\\ \text{s}\approx11\\ \text{s}.

Resposta

0 h 46 min 11 s

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