Uma corda uniforme, de 20 m de comprimento e massa de 2 kg , está esticada sob uma tensão de 10 N . Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude de 3,0 \mathrm{~cm} e frequência de 5,0 oscilações por segundo.
(a) Determine a velocidade de propagação v e o comprimento de onda \lambda da onda gerada na corda.
(b) Determine a frequência angular e o número de onda;
(c) Determine a taxa média de transmissão de energia na corda.
(R: (a) 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; \lambda=2 \mathrm{~m}; (b) 10 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s} ; \mathrm{k}=\pi \mathrm{m}^{-1}; (c) P_{\text {med }}=0,44 \mathrm{~W} ).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • comprimento da corda: \,L=20\\ \mathrm{m}.
  • massa total da corda: \,m=2{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • tensão na corda: \,T=10\\ \mathrm{N}.
  • amplitude da excitação na extremidade: \,A=3{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}030\\ \mathrm{m}.
  • frequência da excitação: \,f=5{,}0\\ \mathrm{Hz}.
O enunciado pede:
(a) determinar a velocidade de propagação v e o comprimento de onda \lambda da onda gerada;
(b) determinar a frequência angular \omega e o número de onda k;
(c) determinar a taxa média de transmissão de energia (potência média) na corda.

Passo 2

Calcular a densidade linear de massa \mu da corda (massa por unidade de comprimento). A definição é:
\mu=\frac{m}{L},
onde \mu tem unidades de \mathrm{kg/m}, m é a massa total e L o comprimento. Substituindo os valores dados:
\mu=\frac{2{,}0\\ \mathrm{kg}}{20\\ \mathrm{m}}=0{,}10\\ \mathrm{kg/m}.
Explicação curta: \mu nos diz quanta massa há em cada metro da corda; é necessário para achar a velocidade de ondas na corda.

Passo 3

Determinar a velocidade de propagação v.
Fórmula (resultado da análise dinâmica de pequenas oscilações de uma corda sob tensão constante):
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde T é a tensão (força) na corda e \mu a densidade linear de massa. Interpretação: quanto maior a tensão, mais rápido vão as ondas; quanto maior a massa por metro, mais lento.
Substituindo T=10\\ \mathrm{N} e \mu=0{,}10\\ \mathrm{kg/m}:
v=\sqrt{\frac{10}{0{,}10}}=\sqrt{100}=10\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Determinar o comprimento de onda \lambda.
Relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda para ondas periódicas:
v=\lambda f.
Desse modo
\lambda=\frac{v}{f}.
Usando v=10\\ \mathrm{m/s} e f=5{,}0\\ \mathrm{Hz}:
\lambda=\frac{10}{5{,}0}=2{,}0\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a cada 2 metros ao longo da corda a fase da onda se repete.

Passo 5

Determinar a frequência angular \omega.
Definição:
\omega=2\pi f,
onde \omega está em \mathrm{rad/s}. Substituindo f=5{,}0\\ \mathrm{Hz}:
\omega=2\pi\cdot 5{,}0=10\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Observação: \omega dá a rapidez com que a fase avança no tempo; é a frequência em radianos por segundo.

Passo 6

Determinar o número de onda k.
Definição e relações:
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
Como \lambda=2{,}0\\ \mathrm{m}, temos
k=\frac{2\pi}{2{,}0}=\pi\\ \mathrm{m}^{-1}.
Comentário extra: também vale sempre k=\omega/v. Se fizermos \omega/v=(10\pi)/(10)=\pi\\ \mathrm{m}^{-1}, dá o mesmo resultado.

Passo 7

Derivar a expressão para a potência instantânea e a potência média transportada por uma onda transversal senoidal numa corda.
Considere uma onda transversal progressiva típica:
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t).
  • A inclinação transversal é \displaystyle \frac{\partial y}{\partial x}=A k\cos(kx-\omega t).
  • A velocidade transversal é \displaystyle \frac{\partial y}{\partial t}=-A\omega\cos(kx-\omega t).
A potência instantânea que atravessa a seção em posição fixa x é dada (para pequenos ângulos) por:
P(x,t) = -T\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial t}.
Explicando: -T\partial y/\partial x é a componente transversal da força de tensão e \partial y/\partial t é a velocidade transversal; produto força×velocidade dá potência.
Substituindo as derivadas:
P(x,t) = -T\bigl(A k\cos(kx-\omega t)\bigr)\bigl(-A\omega\cos(kx-\omega t)\bigr) = T A^{2} k\omega \cos^{2}(kx-\omega t).
A potência instantânea oscila no tempo com \cos^{2}. A potência média ao longo do tempo (sobre um período) usa \langle\cos^{2}\rangle=1/2. Assim:
P_{\text{med}}=\frac{1}{2}T A^{2} k\omega.
Podemos reescrever essa expressão usando \,T=\mu v^{2} e \,k=\omega/v. Substituindo:
P_{\text{med}}=\frac{1}{2}\mu v^{2}A^{2}\left(\frac{\omega}{v}\right)\omega =\frac{1}{2}\mu \omega^{2}A^{2}v.
Esta forma é frequentemente usada porque envolve diretamente \mu,\\ \omega,\\ A,\\ v.

Passo 8

Calcular numericamente a potência média P_{\text{med}} usando a fórmula
P_{\text{med}}=\frac{1}{2}\mu \omega^{2}A^{2}v.
Já temos: \mu=0{,}10\\ \mathrm{kg/m}, \omega=10\pi\\ \mathrm{rad/s}, A=0{,}030\\ \mathrm{m}, v=10\\ \mathrm{m/s}.
Primeiro calcule \omega^{2}:
\omega^{2}=(10\pi)^{2}=100\pi^{2}.
Calcule A^{2}:
A^{2}=(0{,}030)^{2}=0{,}0009\\ \mathrm{m}^{2}.
Agora monte o produto:
\mu \omega^{2} A^{2}=0{,}10\times 100\pi^{2}\times 0{,}0009.
Simplificando numericamente:
100\times 0{,}0009=0{,}09,
então
0{,}10\times 0{,}09 \times \pi^{2}=0{,}009\times \pi^{2}.
Como \pi^{2}\approx 9{,}8696, então
0{,}009\times \pi^{2}\approx 0{,}009\times 9{,}8696\approx 0{,}08883.
Finalmente,
P_{\text{med}}=\frac{1}{2}\times 0{,}08883\times v =\;0{,}044415\times 10 \approx 0{,}444\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma compatível com o enunciado:
P_{\text{med}}\approx 0{,}44\\ \mathrm{W}.

Passo 9

Resumo rápido dos resultados (já detalhados nos passos anteriores). Parabéns — você conseguiu acompanhar todas as fórmulas e a conta até a potência. Lembre-se: as fórmulas-chave são
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},\qquad \lambda=\frac{v}{f},\qquad \omega=2\pi f,\qquad k=\frac{2\pi}{\lambda},
e para potência média
P_{\text{med}}=\frac{1}{2}\mu \omega^{2}A^{2}v=\frac{1}{2}T A^{2} k\omega.

Resposta

(a) v=10\\ \mathrm{m/s}; \lambda=2{,}0\\ \mathrm{m}
(b) \omega=10\pi\\ \mathrm{rad/s}; k=\pi\\ \mathrm{m}^{-1}
(c) P_{\text{med}}=0{,}44\\ \mathrm{W}

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