Uma corda uniforme, de 20 m de comprimento e massa de 2 kg , está esticada sob uma tensão de 10 N . Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude de
e frequência de 5,0 oscilações por segundo.
(a) Determine a velocidade de propagação v e o comprimento de onda
da onda gerada na corda.
(b) Determine a frequência angular e o número de onda;
(c) Determine a taxa média de transmissão de energia na corda.
(R: (a)
; (b)
; (c)
).
(a) Determine a velocidade de propagação v e o comprimento de onda
(b) Determine a frequência angular e o número de onda;
(c) Determine a taxa média de transmissão de energia na corda.
(R: (a)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- comprimento da corda:
. - massa total da corda:
. - tensão na corda:
. - amplitude da excitação na extremidade:
. - frequência da excitação:
.
O enunciado pede:
(a) determinar a velocidade de propagação e o comprimento de onda
da onda gerada;
(b) determinar a frequência angular e o número de onda
;
(c) determinar a taxa média de transmissão de energia (potência média) na corda.
(a) determinar a velocidade de propagação
(b) determinar a frequência angular
(c) determinar a taxa média de transmissão de energia (potência média) na corda.
Passo 2
Calcular a densidade linear de massa
da corda (massa por unidade de comprimento). A definição é:
onde
tem unidades de
,
é a massa total e
o comprimento. Substituindo os valores dados:
Explicação curta:
nos diz quanta massa há em cada metro da corda; é necessário para achar a velocidade de ondas na corda.
Passo 3
Determinar a velocidade de propagação
.
Fórmula (resultado da análise dinâmica de pequenas oscilações de uma corda sob tensão constante):
onde
é a tensão (força) na corda e
a densidade linear de massa. Interpretação: quanto maior a tensão, mais rápido vão as ondas; quanto maior a massa por metro, mais lento.
Substituindo
e
:
Passo 4
Determinar o comprimento de onda
.
Relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda para ondas periódicas:
Desse modo
Usando
e
:
Interpretação: a cada 2 metros ao longo da corda a fase da onda se repete.
Passo 5
Determinar a frequência angular
.
Definição:
onde
está em
. Substituindo
:
Observação:
dá a rapidez com que a fase avança no tempo; é a frequência em radianos por segundo.
Passo 6
Determinar o número de onda
.
Definição e relações:
Como
, temos
Comentário extra: também vale sempre
. Se fizermos
, dá o mesmo resultado.
Passo 7
Derivar a expressão para a potência instantânea e a potência média transportada por uma onda transversal senoidal numa corda.
Considere uma onda transversal progressiva típica:
- A inclinação transversal é
. - A velocidade transversal é
.
A potência instantânea que atravessa a seção em posição fixa
é dada (para pequenos ângulos) por:
Explicando:
é a componente transversal da força de tensão e
é a velocidade transversal; produto força×velocidade dá potência.
Substituindo as derivadas:
A potência instantânea oscila no tempo com
. A potência média ao longo do tempo (sobre um período) usa
. Assim:
Podemos reescrever essa expressão usando
e
. Substituindo:
Esta forma é frequentemente usada porque envolve diretamente
.
Passo 8
Calcular numericamente a potência média
usando a fórmula
Já temos:
,
,
,
.
Primeiro calcule
:
Calcule
:
Agora monte o produto:
Simplificando numericamente:
então
Como
, então
Finalmente,
Arredondando de forma compatível com o enunciado:
Passo 9
Resumo rápido dos resultados (já detalhados nos passos anteriores). Parabéns — você conseguiu acompanhar todas as fórmulas e a conta até a potência. Lembre-se: as fórmulas-chave são
e para potência média
Resposta
(a)
;
(b) ;
(c)
(b)
(c)