Dado
, determine o trabalho necessário para deslocar uma carga de 3 C desde
até
ao longo dos caminhos:
Reta que une os pontos A e B
Reta que une os pontos A e B
Passo 1
O enunciado dá:
- Campo elétrico
. - Carga
. - Ponto
e ponto .
A pergunta: determinar o trabalho para deslocar a carga deaté ao longo da reta que une A e B.
Passo 2
Entendendo o que é pedido (conceito):
- O trabalho realizado pelo campo elétrico ao mover uma carga de
até é
- O trabalho que o agente externo precisa fornecer (trabalho “necessário” pelo agente externo, movendo quasistaticamente) é o negativo do trabalho do campo:
Vou calcular
e, a partir dele,
. Se o campo for conservativo, vale usar potencial escalar (método mais curto); se não for, seria preciso integrar a linha ao longo da reta.
Passo 3
Verificar se
é conservativo (checar
). Calcular componentes de
:
Como
, o campo é conservativo e o resultado do integral de linha é independente do caminho. Podemos usar potencial escalar para facilitar.
Passo 4
Encontrar o potencial escalar
tal que
.
Das componentes:
Das componentes:
Integrando em
:
onde
é função a determinar. Agora
Mas
, logo
. Comparando, obtém-se
, logo
. Finalmente,
portanto
e
. Assim
Constante
pode ser ignorada ao calcular diferenças de potencial.
Passo 5
Avaliar o potencial nos pontos A e B:
A diferença é
Passo 6
Calcular o trabalho realizado pelo campo:
Esse é o trabalho que o campo elétrico realiza ao deslocar a carga de A para B.
Passo 7
Calcular o trabalho necessário fornecido pelo agente externo (quase-estático):
Interpretação física rápida: como
, o campo realiza trabalho sobre a carga; portanto o agente externo precisaria fornecer trabalho negativo (ou seja, extrair energia) para realizar o movimento lentamente.
Passo 8
Verificação por integração direta ao longo da reta (confirmação didática).
Parametrizar a reta A→B por ,
.
Parametrizar a reta A→B por
Avaliar
:
Produto escalar:
Integrando de
a
:
Multiplicando por
dá
, confirmando o resultado obtido via potencial.
Resposta
Trabalho realizado pelo campo:
Trabalho necessário pelo agente externo:
Trabalho necessário pelo agente externo: