Dado boldsymbol{E}=10 y \hat{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{x}}+10 x \hat{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{y}}-2 \hat{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{z}} \mathrm{V} / \mathrm{m}, determine o trabalho necessário para deslocar uma carga de 3 C desde \mathrm{A}(0,-2,8) até \mathrm{B}(5,3,23) ao longo dos caminhos:
Reta que une os pontos A e B

Passo 1

O enunciado dá:
  • Campo elétrico \boldsymbol{E} = 10\,y\,\hat{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{x}} + 10\,x\,\hat{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{y}} - 2\,\hat{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{z}}\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}.
  • Carga q = 3\\ \mathrm{C}.
  • Ponto \mathrm{A}(0,-2,8) e ponto \mathrm{B}(5,3,23).
    A pergunta: determinar o trabalho para deslocar a carga de \mathrm{A} até \mathrm{B} ao longo da reta que une A e B.

Passo 2

Entendendo o que é pedido (conceito):
  • O trabalho realizado pelo campo elétrico ao mover uma carga de \mathrm{A} até \mathrm{B} é
W_{\text{campo}} = q\int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{\ell}.
  • O trabalho que o agente externo precisa fornecer (trabalho “necessário” pelo agente externo, movendo quasistaticamente) é o negativo do trabalho do campo:
W_{\text{ext}} = -W_{\text{campo}}.
Vou calcular W_{\text{campo}} e, a partir dele, W_{\text{ext}}. Se o campo for conservativo, vale usar potencial escalar (método mais curto); se não for, seria preciso integrar a linha ao longo da reta.

Passo 3

Verificar se \boldsymbol{E} é conservativo (checar \nabla\times\boldsymbol{E}=0). Calcular componentes de \nabla\times\boldsymbol{E}:
(\nabla\times\boldsymbol{E})_x = \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z} = \frac{\partial (-2)}{\partial y} - \frac{\partial (10x)}{\partial z} = 0-0=0,
(\nabla\times\boldsymbol{E})_y = \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x} = \frac{\partial (10y)}{\partial z} - \frac{\partial (-2)}{\partial x} = 0-0=0,
(\nabla\times\boldsymbol{E})_z = \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} = \frac{\partial (10x)}{\partial x} - \frac{\partial (10y)}{\partial y} = 10-10=0.
Como \nabla\times\boldsymbol{E}=\boldsymbol{0}, o campo é conservativo e o resultado do integral de linha é independente do caminho. Podemos usar potencial escalar para facilitar.

Passo 4

Encontrar o potencial escalar V(x,y,z) tal que \boldsymbol{E} = -\nabla V.
Das componentes:
- \frac{\partial V}{\partial x} = 10y \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial V}{\partial x} = -10y.
Integrando em x:
V(x,y,z) = -10xy + g(y,z),
onde g é função a determinar. Agora
\frac{\partial V}{\partial y} = -10x + \frac{\partial g}{\partial y}.
Mas -\frac{\partial V}{\partial y} = E_y = 10x, logo \frac{\partial V}{\partial y} = -10x. Comparando, obtém-se \frac{\partial g}{\partial y}=0, logo g=g(z). Finalmente,
- \frac{\partial V}{\partial z} = E_z = -2 \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial V}{\partial z} = 2,
portanto g'(z)=2 e g(z)=2z + C. Assim
V(x,y,z) = -10xy + 2z + C.
Constante C pode ser ignorada ao calcular diferenças de potencial.

Passo 5

Avaliar o potencial nos pontos A e B:
V(\mathrm{A}) = V(0,-2,8) = -10\cdot 0\cdot(-2) + 2\cdot 8 = 0 + 16 = 16\\ \mathrm{V},
V(\mathrm{B}) = V(5,3,23) = -10\cdot 5\cdot 3 + 2\cdot 23 = -150 + 46 = -104\\ \mathrm{V}.
A diferença é
V(\mathrm{A}) - V(\mathrm{B}) = 16 - (-104) = 120\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Calcular o trabalho realizado pelo campo:
W_{\text{campo}} = q\bigl(V(\mathrm{A})-V(\mathrm{B})\bigr) = 3\cdot 120 = 360\\ \mathrm{J}.
Esse é o trabalho que o campo elétrico realiza ao deslocar a carga de A para B.

Passo 7

Calcular o trabalho necessário fornecido pelo agente externo (quase-estático):
W_{\text{ext}} = -W_{\text{campo}} = -360\\ \mathrm{J}.
Interpretação física rápida: como W_{\text{campo}}>0, o campo realiza trabalho sobre a carga; portanto o agente externo precisaria fornecer trabalho negativo (ou seja, extrair energia) para realizar o movimento lentamente.

Passo 8

Verificação por integração direta ao longo da reta (confirmação didática).
Parametrizar a reta A→B por \boldsymbol{r}(t) = \boldsymbol{r}_A + t(\boldsymbol{r}_B-\boldsymbol{r}_A), t\in[0,1].
\boldsymbol{r}(t) = (5t,\,-2+5t,\;8+15t),\qquad d\boldsymbol{\ell} = (5,5,15)\,dt.
Avaliar \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}(t)):
E_x = 10y = 10(-2+5t) = -20+50t,
E_y = 10x = 10(5t) = 50t,
E_z = -2.
Produto escalar:
\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} = [5(-20+50t) + 5(50t) + 15(-2)]\,dt = (-130 + 500t)\,dt.
Integrando de 0 a 1:
\int_{0}^{1}(-130+500t)\,dt = \bigl[-130t + 250t^2\bigr]_0^1 = -130 + 250 = 120.
Multiplicando por q=3 3\cdot 120 = 360\\ \mathrm{J}, confirmando o resultado obtido via potencial.

Resposta

Trabalho realizado pelo campo: 360\\ \mathrm{J}
Trabalho necessário pelo agente externo: -360\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados