Considere a força eletrostática entre uma cabeça de alfinete e uma esfera condutora na seguinte situação: Cabeça de alfinete de 1,0 \mathrm{~mm} de raio com carga elétrica de \mathbf{0 , 3 0} nC e a esfera condutora do tamanho de uma bola de futebol, com 10,0 \mathrm{~cm} de raio, com distribuição simetricamente esférica de carga igual a \mathbf{0 , 3 0} \boldsymbol{\mu} \mathbf{C}. A distância entre os centros das cargas é 20,0 \mathrm{~cm}. Determinar o módulo da força eletrostática.

Passo 1

O enunciado pede o módulo da força eletrostática entre duas cargas dadas. Informações relevantes que o enunciado fornece e que vou usar (tudo extraído do enunciado):
\;q_{\text{alfinete}} = 0,30\\ \mathrm{nC}.
\;q_{\text{bola}} = 0,30\\ \mu\mathrm{C}.
\;R_{\text{alfinete}} = 1,0\\ \mathrm{mm}.
\;R_{\text{bola}} = 10,0\\ \mathrm{cm}.
\;d = 20,0\\ \mathrm{cm} (distância entre os centros).
A pergunta é: determinar o módulo (valor absoluto) da força eletrostática entre essas duas cargas.

Passo 2

Decisão do modelo físico (explicando por que posso aplicar a fórmula simples de Coulomb):
  • Quando uma distribuição de carga é esfericamente simétrica (como uma esfera condutora carregada), o campo elétrico fora da esfera é exatamente o mesmo que o de uma carga pontual igual colocada no centro da esfera. Então, para o cálculo da força entre as duas esferas (a cabeça do alfinete tratada como pequena esfera e a bola de futebol como esfera maior), desde que a distância entre centros seja maior que os raios (ou seja, que as esferas não se toquem), posso usar a lei de Coulomb entre cargas pontuais localizadas nos centros.
  • Verifico os comprimentos (converto para SI): \;R_{\text{alfinete}}=1,0\\ \mathrm{mm}=0,001\\ \mathrm{m}, \;R_{\text{bola}}=10,0\\ \mathrm{cm}=0,10\\ \mathrm{m}. Soma dos raios =0,101\\ \mathrm{m}, que é menor que a distância entre centros \;d=0,20\\ \mathrm{m}. Logo, as esferas estão separadas e o modelo de cargas puntuais centradas vale. Portanto vou aplicar a lei de Coulomb.

Passo 3

Apresento a fórmula que vou usar (e explico cada símbolo):
F = k\,\frac{|q_1 q_2|}{r^2}
onde
  • F é o módulo da força eletrostática (em newtons, \mathrm{N});
  • k é a constante eletrostática (constante de Coulomb), com valor \;k = 8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}};
  • q_1 e q_2 são as cargas elétricas (em coulombs, \mathrm{C});
  • r é a distância entre os centros das cargas (em metros, \mathrm{m}).
    Explicação rápida: a fórmula diz que a força tem magnitude proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas.

Passo 4

Converto todas as grandezas para o SI (passo a passo para não errar):
q_1 = 0,30\\ \mathrm{nC} = 0,30\times10^{-9}\\ \mathrm{C} = 3,0\times10^{-10}\\ \mathrm{C}
q_2 = 0,30\\ \mu\mathrm{C} = 0,30\times10^{-6}\\ \mathrm{C} = 3,0\times10^{-7}\\ \mathrm{C}
r = 20,0\\ \mathrm{cm} = 0,20\\ \mathrm{m}
Sempre confira as potências de 10: \mathrm{nC}=10^{-9}\\ \mathrm{C}, \mu\mathrm{C}=10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Faço a conta substituindo na fórmula e mostrando as etapas aritméticas:
Calculo o produto das cargas:
q_1 q_2 = (3,0\times10^{-10})(3,0\times10^{-7}) = 9,0\times10^{-17}\\ \mathrm{C^{2}}
Calculando o numerador k\,q_1 q_2:
k\,q_1 q_2 = (8,99\times10^{9})(9,0\times10^{-17}) = 8,091\times10^{-7}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}}
Agora o denominador r^{2}:
r^{2} = (0,20)^{2} = 0,04\\ \mathrm{m^{2}}
Divido para obter F:
F = \frac{8,091\times10^{-7}}{0,04} = 2,02275\times10^{-5}\\ \mathrm{N}
Arredondando para três algarismos significativos (consistente com os dados fornecidos):
F \approx 2,02\times10^{-5}\\ \mathrm{N}
Observação física rápida e motivadora: como ambas as cargas são positivas, a força é de repulsão; aqui pediram só o módulo, então entreguei o valor positivo.

Resposta

\;2,02\times10^{-5}\\ \mathrm{N}

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