Considere a força F3 do problema anterior. Todas as unidades são do sistema MKS. (a) Obtenha a expressão da energia potencial de uma partícula neste campo, supondo U=0 na origem. (b) Calcule a energia potencial num ponto P dado pelo vetor posição:
r=i+2 j
onde as coordenadas x e y sảo dadas em metros. © Calcule a diferença de energia potencial entre a origem e o ponto P. (d) Calcule o trabalho para deslocar a partícula desde a origem até o ponto P. (e) Suponha que a massa da particula seja igual a 1 kg . e que a velocidade da partícula na origem seja v0=6 m / s. Calcule a velocidade v da partícula no ponto P.
Respostas: (a) U=x y-(x^2 / 2). (b) U=1.5 J. © De. (d) W=-1.5 J. (e) v=5.74 m / s.

Passo 1

Beleza, vamos decantar o enunciado: a matéria aqui é energia potencial de uma força conservativa e conservação de energia. A gente tem a força
F3(x,y) = (x - y),i;-;x,j
(em unidades MKS). O objetivo é:
a) achar a energia potencial U(x,y) com U(0,0)=0,
b) calcular U no ponto P=(1,2),
c) achar De entre a origem e P,
d) calcular o trabalho W da força indo da origem a P,
e) pra uma partícula de massa m=1,kg com v0=6,m/s na origem, achar a velocidade v em P.

Passo 2

Teoria rápida: para força conservativa F=-nabla U, temos
Fx=-partial Upartial x, Fy=-partial Upartial y,
Então primeiro escrevemos
-partial Upartial x=Fx=x-y;Longrightarrow;partial Upartial x=-x+y,
Integramos em x:
U(x,y)=integral(-x+y),dx=-x^22+xy+g(y),,
onde g(y) é uma “constante” de integração em função de y.
Agora impomos
-partial Upartial y=Fy=-x;Longrightarrow;partial Upartial y=x,
Mas pela expressão que achamos,
partial Upartial y=x+g'(y),,
logo g'(y)=0implies g(y)=const. Como queremos U(0,0)=0, essa constante vale zero.
Logo a energia potencial é
boxedU(x,y)=xy-x^22,

Passo 3

Agora plugamos P=(1,2) em U(x,y):
U(1,2)=1cdot2-1^22=2-tfrac12=1,5 J,

Passo 4

A diferença de energia potencial entre origem e P é
De

Passo 5

O trabalho realizado pela força indo de 0 a P é (para forças conservativas)
W=U(0,0)-U(P)=-De

Passo 6

Energia mecânica se conserva:
Ki+Ui=Kf+Uf,
Na origem Ki=tfrac12mv0^2=tfrac12cdot1cdot6^2=18,J e Ui=0. Em P, Uf=1,5,J, Kf=tfrac12mv^2.
Então
18+0=tfrac12cdot1cdot v^2+1,5Longrightarrow tfrac12v^2=18-1,5=16,5
v^2=33Longrightarrow v=raiz33approx5,74 m/s,

Resposta

a) U(x,y)=xy-dfracx^22.
b) U(1,2)=1,5,J.
c) DeJ.
d) W=-1,5,J.
e) vapprox5,74,m/s.

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