Um corpo pequeno de
de massa é ligado à ponta de uma vara rígida de massa desprezível e de
de comprimento. A outra ponta da vara é colocada sobre um braço horizontal de
de comprimento, que pode girar em torno de um eixo vertical. O braço gira em torno do eixo vertical a uma velocidade de rotação constante, de tal modo que a vara que sustenta a massa faz um ângulo de
com a vertical. Ache (a) a tensão na vara a que a massa está ligada, (b) a velocidade escalar linear da massa e © o tempo necessário para a massa fazer uma revolução completa.
Passo 1
Beleza, vou resumir: temos um massinha de m = 2,5 kg presa na ponta de uma vareta leve de comprimento L = 0,8 m. A vareta está presa na ponta de um braço horizontal de 0,6 m que gira em torno de um eixo vertical com velocidade constante, fazendo com que a vareta fique inclinada 30° em relação à vertical.
Conteúdo: é um pêndulo cônico (movimento circular numa horizontal) que exige equilíbrio de forças (peso vs. componente vertical da tensão) e a força centrípeta (fornecida pela componente horizontal da tensão).
Vamos precisar de:
Conteúdo: é um pêndulo cônico (movimento circular numa horizontal) que exige equilíbrio de forças (peso vs. componente vertical da tensão) e a força centrípeta (fornecida pela componente horizontal da tensão).
Vamos precisar de:
- Geometria pra achar o raio da trajetória.
- Diagrama de forças pra tensionar na vareta.
- Fórmula da força centrípeta e relação entre v, ω e o período T (tempo de volta).
Passo 2
Primeiro, achar o raio r da trajetória circular da massa, medido a partir do eixo vertical.
- O braço dá 0,6 m.
- A vareta, inclinada 30°, tem projeção horizontal L·sin 30° = 0,8·½ = 0,4 m.
Logo
Passo 3
Agora o diagrama de forças na massa m:
- Para cima, a componente vertical da tensão T:
. - Para baixo, o peso:
.
Como não há aceleração vertical, essas duas se igualam:
Então
$$T = \frac{mg}{\cos30°} = \frac{2{,}5 \times 9{,}8}{\cos30°}
= \frac{24{,}5}{\tfrac{\sqrt3}{2}}
\approx 28{,}3N.$$
Passo 4
A componente horizontal da tensão,
, fornece a força centrípeta
:
Substituindo
$$m\frac{v^2}{r} = T\cdot\frac12
;\Longrightarrow; v^2 = \frac{T,(1/2),r}{m}.$$
Passo 5
Colocando os números:
Passo 6
O tempo
para uma volta é o comprimento da circunferência sobre a velocidade:
Resposta
(a) Tensão na vareta:
.
(b) Velocidade escalar da massa: .
© Tempo de uma revolução: .
(b) Velocidade escalar da massa:
© Tempo de uma revolução: