Um corpo pequeno de 2,5 kg de massa é ligado à ponta de uma vara rígida de massa desprezível e de 0,8 m de comprimento. A outra ponta da vara é colocada sobre um braço horizontal de 0,6 m de comprimento, que pode girar em torno de um eixo vertical. O braço gira em torno do eixo vertical a uma velocidade de rotação constante, de tal modo que a vara que sustenta a massa faz um ângulo de 30^circ com a vertical. Ache (a) a tensão na vara a que a massa está ligada, (b) a velocidade escalar linear da massa e © o tempo necessário para a massa fazer uma revolução completa.

Passo 1

Beleza, vou resumir: temos um massinha de m = 2,5 kg presa na ponta de uma vareta leve de comprimento L = 0,8 m. A vareta está presa na ponta de um braço horizontal de 0,6 m que gira em torno de um eixo vertical com velocidade constante, fazendo com que a vareta fique inclinada 30° em relação à vertical.
Conteúdo: é um pêndulo cônico (movimento circular numa horizontal) que exige equilíbrio de forças (peso vs. componente vertical da tensão) e a força centrípeta (fornecida pela componente horizontal da tensão).
Vamos precisar de:
  1. Geometria pra achar o raio da trajetória.
  2. Diagrama de forças pra tensionar na vareta.
  3. Fórmula da força centrípeta e relação entre v, ω e o período T (tempo de volta).

Passo 2

Primeiro, achar o raio r da trajetória circular da massa, medido a partir do eixo vertical.
  • O braço dá 0,6 m.
  • A vareta, inclinada 30°, tem projeção horizontal L·sin 30° = 0,8·½ = 0,4 m.
    Logo
r = 0,6 + 0,4 = 1,0 m

Passo 3

Agora o diagrama de forças na massa m:
  • Para cima, a componente vertical da tensão T: Tcos30° = mg.
  • Para baixo, o peso: T = mgcos30° = 2,5 times 9,8cos30° = 24,5tfracraiz32 approx 28,3 N.
    Como não há aceleração vertical, essas duas se igualam:

Então
$$T = \frac{mg}{\cos30°} = \frac{2{,}5 \times 9{,}8}{\cos30°}
= \frac{24{,}5}{\tfrac{\sqrt3}{2}}
\approx 28{,}3N.$$

Passo 4

A componente horizontal da tensão, Fc = mv^2r = Tsin30°, fornece a força centrípeta mv^2r = Tcdot12 ;Longrightarrow; v^2 = T,(1/2),rm:

Substituindo e ½:
$$m\frac{v^2}{r} = T\cdot\frac12
;\Longrightarrow; v^2 = \frac{T,(1/2),r}{m}.$$

Passo 5

Colocando os números:
v^2 = 28,3 times 0,5 times 1,02,5 = 14,152,5 = 5,66 Longrightarrow v = raiz5,66approx 2,38 m/s

Passo 6

O tempo Tper = 2pi rv = 2pi times 1,02,38 approx 2,64 s para uma volta é o comprimento da circunferência sobre a velocidade:

Resposta

(a) Tensão na vareta: .
(b) Velocidade escalar da massa: .
© Tempo de uma revolução: .

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