3.18 O bocal de uma mangueira de incêndio apresenta diâmetro igual a 29 mm . De acordo com algumas normas de segurança, o bocal deve ser capaz de fornecer uma vazão mínima de 68 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}. Determine o valor da pressão na seção de alimentação do bocal para que a vazão mínima seja detectada sabendo que o bocal está conectado a uma mangueira que apresenta diâmetro igual a 76 mm .
\begin{array}{l|l} \pi \frac{0,029 v_{b}}{4}=68 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} & \frac{p_{b}}{\rho g}+\frac{v_{b}^{2}}{2 g}=\frac{p_{m}}{\rho g}+\frac{v_{2}^{2}}{2 g} \\ v_{b}=102.949 \mathrm{~m} / \mathrm{s} & \frac{v_{b}^{2}}{2}=\frac{p_{m}}{\rho}+\frac{v_{b}^{2}}{2} \\ 68=\pi \frac{0,076^{2}}{4} v_{m} & \left(\frac{v_{b}^{2}}{2}-\frac{v_{n}^{2}}{2}\right) \rho \end{array}

Passo 1

O enunciado dá um bocal de diâmetro D_b=29\text{ mm} que deve fornecer vazão mínima Q=68\text{ m}^3/\text{h}. Esse bocal está ligado a uma mangueira de diâmetro D_m=76\text{ mm}. O objetivo é encontrar a pressão na seção de alimentação da mangueira (seção m) para que saia a vazão requerida. Conteúdo: escoamento incompressível estacionário, continuidade e Bernoulli sem perdas.

Passo 2

Convertemos a vazão para unidades SI ( m^{3}/s):
Q = \frac{68\text{ m}^3}{\text{h}} \times \frac{1\text{ h}}{3600\text{ s}} =0,018889\text{ m}^3/\text{s}.

Passo 3

Aplicamos continuidade na saída (bocal). A área do bocal é
A_b = \frac{\pi D_b^2}{4} = \frac{\pi\,(0,029)^2}{4} \approx 6,61\times10^{-4}\text{ m}^2.
Logo, a velocidade no bocal é
v_b = \frac{Q}{A_b} \approx \frac{0,018889}{6,61\times10^{-4}} \approx 28{,}6\text{ m/s}.

Passo 4

Pela mesma vazão, a velocidade na mangueira (seção m) é
A_m = \frac{\pi D_m^2}{4} = \frac{\pi\,(0,076)^2}{4} \approx 4,54\times10^{-3}\text{ m}^2,
v_m = \frac{Q}{A_m} \approx \frac{0,018889}{4,54\times10^{-3}} \approx 4{,}16\text{ m/s}.

Passo 5

Usamos Bernoulli entre a seção m e a saída do bocal (ambas na mesma altura e sem perdas):
\frac{p_m}{\rho} + \frac{v_m^2}{2} =\frac{p_b}{\rho} + \frac{v_b^2}{2}.
Como o bocal dispensa à atmosfera, tomamos p_b=0 (gauge). Assim,
p_m =\rho\;\frac{v_b^2 - v_m^2}{2}.

Passo 6

Substituindo \rho=1000\text{ kg/m}^3, v_b\approx28{,}6\text{ m/s} e v_m\approx4{,}16\text{ m/s}:
v_b^2 - v_m^2 \approx (28{,}6)^2 - (4{,}16)^2 \approx 816{,}0 - 17{,}3 =798{,}7\;(\text{m/s})^2,
p_m =1000\;\frac{798{,}7}{2} \approx 399\,350\text{ Pa} \approx 399{,}4\text{ kPa}.

Resposta

A pressão mínima de alimentação (pressão gauge) deve ser aproximadamente
\boxed{p_m \approx 4,0\times10^5\text{ Pa} \;(400\text{ kPa}).}

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