Considere as formas quadráticas geradas pelas seguintes matrizis, e diga se são indefinidas, definidas ou semidefinidas (positivas ou negativas):
Passo 1
O enunciado pede para classificar a forma quadrática q( v)=A vcdot v dada pela matriz A=diag(1,-3,0). O conteúdo aqui é formas quadráticas e como seus autovalores determinam se são definidas, semidefinidas ou indefinidas.
Passo 2
Como A é matriz diagonal, seus autovalores são exatamente os elementos da diagonal. Logo temos lambda1=1>0, lambda2=-3<0 e lambda3=0. A teoria diz que: se todos os autovalores são positivos, a forma é definida positiva; se todos são negativos, definida negativa; se são não negativos mas algum é zero, semidefinida positiva; se são não positivos mas algum é zero, semidefinida negativa; e se há autovalores positivos e negativos, a forma é indefinida.
Passo 3
Aqui há simultaneamente um autovalor positivo (1) e um negativo (-3), independentemente do terceiro ser zero. Isso caracteriza forma indefinida, pois existem vetores para os quais q( v)>0 e outros para os quais q( v)<0.