Considere as formas quadráticas q(v)=A v cdot v geradas pelas seguintes matrizis, e diga se são indefinidas, definidas ou semidefinidas (positivas ou negativas):
A=[ccc1 & 0 & 0 0 & -3 & 0 0 & 0 & 0]

Passo 1

O enunciado pede para classificar a forma quadrática q( v)=A vcdot v dada pela matriz A=diag(1,-3,0). O conteúdo aqui é formas quadráticas e como seus autovalores determinam se são definidas, semidefinidas ou indefinidas.

Passo 2

Como A é matriz diagonal, seus autovalores são exatamente os elementos da diagonal. Logo temos lambda1=1>0, lambda2=-3<0 e lambda3=0. A teoria diz que: se todos os autovalores são positivos, a forma é definida positiva; se todos são negativos, definida negativa; se são não negativos mas algum é zero, semidefinida positiva; se são não positivos mas algum é zero, semidefinida negativa; e se há autovalores positivos e negativos, a forma é indefinida.

Passo 3

Aqui há simultaneamente um autovalor positivo ( 1) e um negativo ( -3), independentemente do terceiro ser zero. Isso caracteriza forma indefinida, pois existem vetores para os quais q( v)>0 e outros para os quais q( v)<0.

Resposta

A forma quadrática associada a A é indefinida.

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