Determine o gradiente e a Hessiana da função dada, em volta do ponto ( ) dado. e .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinar o gradiente e a Hessiana da função dada no ponto . Isso está relacionado ao estudo de derivadas parciais e matrizes de segundas derivadas, que são fundamentais em cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais de em relação a e . Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de .
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor do gradiente no ponto substituindo e nas derivadas que encontramos:
Agora, vamos encontrar a HessianaHf. A Hessiana é uma matriz que contém todas as segundas derivadas parciais de f. Para uma função de duas variáveis, ela é dada por:
Hf(x, y) = partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial x partial y partial^2 fpartial y partial x & partial^2 fpartial y^2