Determine o gradiente nabla f e a Hessiana Hf da função dada, em volta do ponto ( x0, y0 ) dado.
f(x, y)=x^3+y^3-x^2+4 y e (x0, y0)=(1,1).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinar o gradiente nabla f e a Hessiana Hf da função dada no ponto (x0, y0) = (1, 1). Isso está relacionado ao estudo de derivadas parciais e matrizes de segundas derivadas, que são fundamentais em cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função f(x, y) é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais de f em relação a x e y. Ou seja:
nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y )

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x, y) = x^3 + y^3 - x^2 + 4y.
  1. Derivada parcial em relação a x:
    partial fpartial x = 3x^2 - 2x
  2. Derivada parcial em relação a y:
    partial fpartial y = 3y^2 + 4

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor do gradiente no ponto (1, 1) substituindo x = 1 e y = 1 nas derivadas que encontramos:
  1. Para x = 1:
    partial fpartial xg|(1,1) = 3(1)^2 - 2(1) = 3 - 2 = 1
  2. Para y = 1:
    partial fpartial yg|(1,1) = 3(1)^2 + 4 = 3 + 4 = 7
Então, o gradiente no ponto (1, 1) é:
nabla f(1, 1) = (1, 7)

Passo 5

Agora, vamos encontrar a Hessiana Hf. A Hessiana é uma matriz que contém todas as segundas derivadas parciais de f. Para uma função de duas variáveis, ela é dada por:
Hf(x, y) = partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial x partial y partial^2 fpartial y partial x & partial^2 fpartial y^2

Passo 6

Vamos calcular cada uma das segundas derivadas:
  1. Segunda derivada em relação a x:
    partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x(3x^2 - 2x) = 6x - 2
  2. Segunda derivada em relação a y:
    partial^2 fpartial y^2 = partialpartial y(3y^2 + 4) = 6y
  3. Derivadas cruzadas:
    partial^2 fpartial x partial y = partial^2 fpartial y partial x = 0

Passo 7

Agora, substituímos x = 1 e y = 1 nas segundas derivadas:
  1. Para x = 1:
    partial^2 fpartial x^2g|(1,1) = 6(1) - 2 = 4
  2. Para y = 1:
    partial^2 fpartial y^2g|(1,1) = 6(1) = 6
  3. Derivadas cruzadas:
    partial^2 fpartial x partial yg|(1,1) = 0
Portanto, a Hessiana no ponto (1, 1) é:
Hf(1, 1) = 4 & 0 0 & 6

Resposta

O gradiente de f no ponto (1, 1) é nabla f(1, 1) = (1, 7) e a Hessiana no mesmo ponto é:
Hf(1, 1) = 4 & 0 0 & 6

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