Considere as formas quadráticas q(v)=A v cdot v geradas pelas seguintes matrizis, e diga se são indefinidas, definidas ou semidefinidas (positivas ou negativas):
A=[ll-1 & -2 -2 & -3]

Passo 1

Temos a forma quadrática q(v) = A,vcdotv com
A = -1 & -2 -2 & -3
Queremos classificar se q é definida positiva, definida negativa, semidefinida ou indefinida. Como A é simétrica, podemos usar o critério de Sylvester (menores principais) ou analisar autovalores.

Passo 2

O critério de Sylvester para uma matriz simétrica em 2×2 diz:
  • definida positiva se todos os menores principais forem >0;
  • definida negativa se os sinais dos menores principais alternarem, isto é, o primeiro menor <0 e o segundo >0;
  • caso contrário, a forma é indefinida.

Passo 3

Calculamos os menores principais de A:
D1 = a11 = -1 e
D2 = det(A) = (-1)(-3) - (-2)(-2) = 3 - 4 = -1.

Passo 4

Como D1 = -1 < 0 e D2 = -1 < 0, não satisfazemos nem a condição para definida positiva (todos >0), nem a alternância exigida para definida negativa (seria D1<0 e D2>0). Portanto, a forma quadrática é indefinida.

Resposta

Indefinida

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