Considere as formas quadráticas
geradas pelas seguintes matrizis, e diga se são indefinidas, definidas ou semidefinidas (positivas ou negativas):
Passo 1
Temos a forma quadrática
com
Queremos classificar se
é definida positiva, definida negativa, semidefinida ou indefinida. Como
é simétrica, podemos usar o critério de Sylvester (menores principais) ou analisar autovalores.
Passo 2
O critério de Sylvester para uma matriz simétrica em 2×2 diz:
- definida positiva se todos os menores principais forem >0;
- definida negativa se os sinais dos menores principais alternarem, isto é, o primeiro menor <0 e o segundo >0;
- caso contrário, a forma é indefinida.
Passo 3
Calculamos os menores principais de
:
e
.
Passo 4
Como
e
, não satisfazemos nem a condição para definida positiva (todos >0), nem a alternância exigida para definida negativa (seria
e
). Portanto, a forma quadrática é indefinida.
Resposta
Indefinida