Encontre a fórmula da reta tangente à função g(x)=1 / raizx, no ponto x0=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a fórmula da reta tangente à função $ g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $ no ponto onde $ x_0 = 2 $. Isso envolve conceitos de derivadas, que fazem parte do estudo de Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função e usar ela para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto $ x_0 = 2 $. Isso vai nos dar o ponto específico pelo qual a reta tangente passa.
x0 = 2
Então, o ponto é $ (2, \frac{\sqrt{2}}{2}) $.

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de $ g(x) $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. A função $ g(x) $ pode ser reescrita como $ g(x) = x^{-1/2} $.

Passo 4

Calculando a derivada de $ g(x) = x^{-1/2} $:
g(x) = x^-1/2
Então, $ g’(x) = -\frac{1}{2x^{3/2}} $.

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada no ponto $ x_0 = 2 $ para encontrar a inclinação da reta tangente:
x0 = 2
Então, a inclinação da reta tangente é $ m = -\frac{\sqrt{2}}{8} $.

Passo 6

Com o ponto $ (2, \frac{\sqrt{2}}{2}) $ e a inclinação $ m = -\frac{\sqrt{2}}{8} $, podemos usar a fórmula da reta tangente:
(2, raiz22)
Substituindo os valores:
m = -raiz28

Passo 7

Vamos simplificar a equação para ficar na forma padrão:
y = -raiz28x + raiz24 + raiz22
y = -raiz28x + 3raiz24

Resposta

A fórmula da reta tangente à função $ g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $ no ponto $ x_0 = 2 $ é:
g(x) = 1raizx

Exercícios relacionados