Considere a fórmula que exprime o período T de um pêndulo simples em termos de seu comprimento L e da aceleração da gravidade g, expressa por:
\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}
Mostre que a fórmula acima é dimensionalmente homogênea.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a homogeneidade dimensional da fórmula do período de um pêndulo simples
\mathrm{T}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}
Aqui o conteúdo é análise dimensional: vamos atribuir as dimensões físicas a cada grandeza e checar se o lado direito resulta na mesma dimensão do período \mathrm{T}.

Passo 2

Identificamos as dimensões básicas:
– O período \mathrm{T} tem dimensão de tempo, que denotamos por [\mathrm{T}].
– O comprimento L tem dimensão de comprimento, [\mathrm{L}].
– A aceleração da gravidade g tem dimensão de comprimento por tempo ao quadrado, ou seja, [\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-2}].
– O fator numérico 2\pi é adimensional, sua dimensão é [1].

Passo 3

Agora calculamos a dimensão do lado direito:
[2\pi\sqrt{L/g}] = [1]\;\sqrt{\frac{[L]}{[L\,T^{-2}]}} = \sqrt{\frac{[L]}{[L]\,[T^{-2}]}} = \sqrt{[T^{2}]} = [T].

Passo 4

Como o lado direito tem dimensão [T], igual à dimensão do período \mathrm{T}, concluímos que a fórmula é dimensionalmente homogênea.

Resposta

A fórmula é dimensionalmente homogênea, pois ambos os lados têm dimensão de tempo [T].

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