Considere uma formulação mais geral do problema 14. Neste caso, tem-se:
d x1d t=a11 cdot x1+a12 cdot x2
d x2d t=a21 cdot x1+a22 cdot x2
onde os parâmetros aij podem ser ou positivos ou negativos. A escolha dos sinais especifica os estilos do romance. Para cada um dos seguintes casos (parâmetros a e b são positivos), determine o comportamento do plano de fases. Interprete o significado dos resultados em termos do comportamento romântico.
a. d x1d t=a cdot x1+b cdot x2
d x2d t=b cdot x1+a cdot x2

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um sistema linear em duas variáveis
dx1dt=a,x1+b,x2, dx2dt=b,x1+a,x2
com e . Precisamos estudar o plano de fases (ou seja, como as soluções se comportam perto da origem) e depois “traduzir” isso em termos de romance.
O que vamos usar:
1) Teoria de sistemas lineares – matriz, traço, determinante e autovalores.
2) Classificação de tipos de equilíbrio (nó, sela, etc.) a partir dos sinais dos autovalores.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz do sistema:
A=a & b [6pt] b & a
Da teoria de sistemas lineares, o polinômio característico é
det(A-lambda I) =a-lambda & b b & a-lambda =(a-lambda)^2 - b^2 =lambda^2 -2alambda + (a^2 - b^2)
Além disso, o traço é e o determinante é . Esses dois valores já nos ajudam a saber o tipo de equilíbrio, mas vamos achar os autovalores mesmo.

Passo 3

Resolvendo lambda = 2a pm raiz(2a)^2 - 4(a^2 - b^2)2 = 2a pm raiz4b^22 = a pm b , obtemos
lambda1 = a + b, lambda2 = a - b
Ou seja:

Passo 4

Como e , sabemos já que . O sinal de pode ser:
  • Se , então . Temos dois autovalores positivos ⇒ origem é um nó repulsor (instável).
  • Se , então . Temos um autovalor positivo e outro negativo ⇒ origem é uma sela (saddle).
  • (No caso , e dá um nó degenerado, mas vamos focar nos dois acima.)
Da teoria, nó repulsor significa que as soluções partem da origem em todas as direções (sentimentos crescem para longe do “zero” de amor), e sela significa que em uma direção elas se aproximam (sentimentos que morrem) e em outra se afastam (sentimentos que explodem).

Resposta

  • Se : ambos autovalores positivos ⇒ Nó repulsor. Interpretação romântica: os sentimentos de ambos crescem juntos sem controle (amor que só se intensifica).
  • Se : um autovalor positivo e outro negativo ⇒ Sela. Interpretação romântica: em uma “direção” o romance floresce e no outro murcha (amor não correspondido, vai e vem).

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