Considere uma formulação mais geral do problema 14. Neste caso, tem-se:
onde os parâmetros podem ser ou positivos ou negativos. A escolha dos sinais especifica os estilos do romance. Para cada um dos seguintes casos (parâmetros a e b são positivos), determine o comportamento do plano de fases. Interprete o significado dos resultados em termos do comportamento romântico.
a.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem um sistema linear em duas variáveis
com e . Precisamos estudar o plano de fases (ou seja, como as soluções se comportam perto da origem) e depois “traduzir” isso em termos de romance.
O que vamos usar:
1) Teoria de sistemas lineares – matriz, traço, determinante e autovalores.
2) Classificação de tipos de equilíbrio (nó, sela, etc.) a partir dos sinais dos autovalores.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a matriz do sistema:
Da teoria de sistemas lineares, o polinômio característico é
Além disso, o traço é e o determinante é . Esses dois valores já nos ajudam a saber o tipo de equilíbrio, mas vamos achar os autovalores mesmo.
Passo 3
Resolvendo lambda = 2a pm raiz(2a)^2 - 4(a^2 - b^2)2 = 2a pm raiz4b^22 = a pm b , obtemos
lambda1 = a + b, lambda2 = a - b
Ou seja:
Passo 4
Como e , sabemos já que . O sinal de pode ser:
Se , então . Temos dois autovalores positivos ⇒ origem é um nó repulsor (instável).
Se , então . Temos um autovalor positivo e outro negativo ⇒ origem é uma sela (saddle).
(No caso , e dá um nó degenerado, mas vamos focar nos dois acima.)
Da teoria, nó repulsor significa que as soluções partem da origem em todas as direções (sentimentos crescem para longe do “zero” de amor), e sela significa que em uma direção elas se aproximam (sentimentos que morrem) e em outra se afastam (sentimentos que explodem).
Resposta
Se : ambos autovalores positivos ⇒ Nó repulsor. Interpretação romântica: os sentimentos de ambos crescem juntos sem controle (amor que só se intensifica).
Se : um autovalor positivo e outro negativo ⇒ Sela. Interpretação romântica: em uma “direção” o romance floresce e no outro murcha (amor não correspondido, vai e vem).