Como engenheiro químico em uma indústria farmacêutica você é responsável por um processo que utiliza uma bactéria para produzir um antibiótico. O reator foi contaminado com um protozoário que consome a bactéria. Assuma que equações predador-preza são utilizadas para modelar o sistema ( x1= bactéria (preza), x2= protozoário (predador)). A unidade de tempo é o dia.
d x1d t=a cdot x1-gamma cdot x1 cdot x2
d x2d t=varepsilon cdot gamma cdot x1 cdot x2-beta cdot x2
a. Mostre que os valores para o estado estacionário não trivial são:
x1 s=betavarepsilon cdot gamma
e x2 s=alphagamma

Passo 1

Beleza, vamo lá! A questão tá no tópico de sistemas de equações diferenciais para modelo predador-presa (ou Lotka–Volterra). A gente tem duas variáveis:
  • dx1dt = a,x1 - gamma,x1,x2 e dx2dt = varepsilon,gamma,x1,x2 - beta,x2 = concentração de bactéria (presa)
  • x1s = betavarepsilon,gamma , x2s = agamma = concentração de protozoário (predador)
As equações são:
O que pedem é mostrar o ponto de equilíbrio “não trivial” (ou seja, com ambas as populações positivas):
Pra resolver, vamos usar a ideia de ponto de equilíbrio: basta igualar as derivadas a zero e resolver o sistema.

Passo 2

Primeiro equilíbrio:
dx1dt = a,x1 - gamma,x1,x2 = 0
Fatorando x1,(a - gamma,x2) = 0 :
Isso dá duas possibilidades:

Passo 3

Segundo equilíbrio:
dx2dt = varepsilon,gamma,x1,x2 - beta,x2 = 0
Fatorando x2,(varepsilon,gamma,x1 - beta) = 0 :
Isso dá:

Passo 4

Pra achar o ponto não trivial, queremos e .
  • Da equação 1, pegamos .
  • Da equação 2, pegamos .
Essas escolhas garantem que nenhuma das duas populações seja zero.

Resposta

x1s = betavarepsilon,gamma , x2s = agamma

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