Como engenheiro químico em uma indústria farmacêutica você é responsável por um processo que utiliza uma bactéria para produzir um antibiótico. O reator foi contaminado com um protozoário que consome a bactéria. Assuma que equações predador-preza são utilizadas para modelar o sistema (
bactéria (preza),
protozoário (predador)). A unidade de tempo é o dia.
a. Mostre que os valores para o estado estacionário não trivial são:
e
a. Mostre que os valores para o estado estacionário não trivial são:
e
Passo 1
Beleza, vamo lá! A questão tá no tópico de sistemas de equações diferenciais para modelo predador-presa (ou Lotka–Volterra). A gente tem duas variáveis:
-
= concentração de bactéria (presa) -
= concentração de protozoário (predador)
As equações são:
O que pedem é mostrar o ponto de equilíbrio “não trivial” (ou seja, com ambas as populações positivas):
Pra resolver, vamos usar a ideia de ponto de equilíbrio: basta igualar as derivadas a zero e resolver o sistema.
Passo 2
Primeiro equilíbrio:
Fatorando
:
Isso dá duas possibilidades:
Passo 3
Segundo equilíbrio:
Fatorando
:
Isso dá:
Passo 4
Pra achar o ponto não trivial, queremos
e
.
- Da equação 1, pegamos
. - Da equação 2, pegamos
.
Essas escolhas garantem que nenhuma das duas populações seja zero.