Como engenheiro químico em uma indústria farmacêutica você é responsável por um processo que utiliza uma bactéria para produzir um antibiótico. O reator foi contaminado com um protozoário que consome a bactéria. Assuma que equações predador-preza são utilizadas para modelar o sistema (
bactéria (preza),
protozoário (predador)). A unidade de tempo é o dia.
g.
se
e
?
g.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a gente tem aqui. O enunciado descreve um modelo predador-presa com duas variáveis:
-
= população de bactérias (presa) -
= população de protozoários (predador)
As equações são
O exercício (item g) pergunta: o que acontece se a gente começar com
e
? Vamos precisar entender ODE simples de 1ª ordem e a ideia de equilíbrio (estado estacionário).
Passo 2
Como
, veja o que rola na equação de
:
Mas se
começa em zero, e a derivada é sempre proporcional a
, então
o tempo todo. Conclusão:
Passo 3
Com
em mãos, podemos simplificar a equação de
:
Isso é uma ODE linear bem básica:
. A solução geral é a famosa exponencial decaindo:
Aqui a teoria é simples: quando você tem
, a solução é
.
Passo 4
Agora fica claro o comportamento do sistema:
-
fica sempre zero (não tem presa, nada cresce ali). -
decai exponencialmente até zero, já que não tem fonte de alimento.
O equilíbrio (estado E) desse caso é o ponto onde nenhuma das populações muda:
Resposta
O sistema parte de
com
e evolui para o ponto de equilíbrio