Como engenheiro químico em uma indústria farmacêutica você é responsável por um processo que utiliza uma bactéria para produzir um antibiótico. O reator foi contaminado com um protozoário que consome a bactéria. Assuma que equações predador-preza são utilizadas para modelar o sistema ( x1= bactéria (preza), x2= protozoário (predador)). A unidade de tempo é o dia.
d x1d t=a cdot x1-gamma cdot x1 cdot x2
d x2d t=varepsilon cdot gamma cdot x1 cdot x2-beta cdot x2
g. E se x1(0)=0 e x2(0) neq 0 ?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a gente tem aqui. O enunciado descreve um modelo predador-presa com duas variáveis:
  • dx1dt = a,x1 - gamma,x1,x2, dx2dt = varepsilon,gamma,x1,x2 - beta,x2 = população de bactérias (presa)
  • = população de protozoários (predador)
As equações são
O exercício (item g) pergunta: o que acontece se a gente começar com e ? Vamos precisar entender ODE simples de 1ª ordem e a ideia de equilíbrio (estado estacionário).

Passo 2

Como dx1dt = a,x1 - gamma,x1,x2 = x1,(a - gamma,x2) , veja o que rola na equação de x1(t) = 0 forall t>=0 :
Mas se começa em zero, e a derivada é sempre proporcional a , então o tempo todo. Conclusão:

Passo 3

Com dx2dt = varepsilon,gamma,x1,x2 - beta,x2 = 0 - beta,x2 = -beta,x2 em mãos, podemos simplificar a equação de x2(t) = x2(0),e^-beta t :
Isso é uma ODE linear bem básica: . A solução geral é a famosa exponencial decaindo:
Aqui a teoria é simples: quando você tem , a solução é .

Passo 4

Agora fica claro o comportamento do sistema:
  • E = (x1,x2) = (0,0) fica sempre zero (não tem presa, nada cresce ali).
  • decai exponencialmente até zero, já que não tem fonte de alimento.
O equilíbrio (estado E) desse caso é o ponto onde nenhuma das populações muda:

Resposta

O sistema parte de boxedE = (0,,0) com e evolui para o ponto de equilíbrio

Exercícios relacionados