Considere a fração \frac{14}{6}. Quais os dois menores números inteiros positivos que podemos adicionar ao numerador e ao denominador sem alterar o valor da fração?

Passo 1

O enunciado pede os menores inteiros positivos a e b tais que, ao adicioná-los ao numerador e ao denominador de \tfrac{14}{6}, o valor da fração não mude, ou seja, que
\frac{14+a}{6+b} = \frac{14}{6}.

Passo 2

Para manter o valor da fração, igualamos por produto cruzado:
6\,(14 + a) \;=\; 14\,(6 + b).

Passo 3

Expandindo e simplificando:
84 + 6a = 84 + 14b \;\Longrightarrow\; 6a = 14b \;\Longrightarrow\; 3a = 7b.
Isso gera uma equação diofantina linear.

Passo 4

Da condição 3a = 7b segue que a = 7n e b = 3n para algum inteiro n>0. O menor n possível é n=1, dando
a = 7,\quad b = 3.

Resposta

Adicionar 7 ao numerador e 3 ao denominador.

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