Quantos números inteiros n existem tais que \frac{2}{n}<0,5<\frac{3}{n}

Passo 1

O enunciado pede para contar os inteiros n que satisfazem
\frac{2}{n}<0,5<\frac{3}{n}.
Este é um problema de inequações em que a variável aparece no denominador, então vamos dividir em casos conforme o sinal de n.

Passo 2

Analisemos primeiro a inequação
\frac{2}{n}<0,5.
Caso n>0, multiplicamos por n (positivo) sem inverter sinal:
2<0,5\,n \quad\Longrightarrow\quad 2<\tfrac12 n \quad\Longrightarrow\quad 4<n \quad\Longrightarrow\quad n>4.
Caso n<0, ao multiplicar por n (negativo) inverte-se a desigualdade:
2>0,5\,n \quad\Longrightarrow\quad 4>n,
o que vale para todo inteiro negativo.

Passo 3

Agora a inequação
0,5<\frac{3}{n}.
Caso n>0, multiplicando por n (positivo):
0,5\,n<3 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac12 n<3 \quad\Longrightarrow\quad n<6.
Caso n<0, ao multiplicar por n (negativo) inverte-se a desigualdade:
0,5\,n>3 \quad\Longrightarrow\quad n>6,
o que não ocorre para nenhum inteiro negativo.

Passo 4

Para n>0 precisamos simultaneamente de
n>4 \quad\text{e}\quad n<6,
logo n inteiro positivo só pode ser 5. Não há solução negativa (falha a segunda inequação).

Resposta

Existe exatamente 1 inteiro (que é n=5).

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