Considere as frações x_{1}=1+\frac{1}{1}=\frac{2}{1}, x_{2}=1+\frac{1}{1+1}=\frac{3}{2}, x_{3}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+1}}=\frac{5}{3} etc. Em geral, para cada n \geq 1, x_{n+1}=1+ \frac{1}{x_{n}}. O valor que mais se aproxima do termo x_{2024} é:
(A) 1 .
(B) 1,515 .
(C) 1,601 .
(D) 1,618 .

Passo 1

O enunciado define a sequência
\;x_{1}=1+\frac{1}{1}=2,\quad x_{n+1}=1+\frac{1}{x_{n}}\;\text{ para }n\ge1,
e pergunta qual valor entre as opções mais se aproxima de x_{2024}. O conteúdo aqui é analisar a convergência de sequência definida por recorrência e usar o conceito de ponto fixo.

Passo 2

Se a sequência \{x_{n}\} converge para algum limite L, então passando ao limite na recorrência obtemos
L \;=\; 1 + \frac{1}{L}.
Essa é a condição de ponto fixo da função f(x)=1+1/x.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por L, chega-se à equação quadrática
L^{2} = L + 1 \quad\Longrightarrow\quad L^{2} - L - 1 = 0.
As soluções são
L = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.
Como todos os x_{n}>0, o limite deve ser a raiz positiva
L = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\approx1{,}618.

Passo 4

Além disso, nota-se que a iteração x_{n+1}=1+1/x_{n} faz o erro em relação a \frac{1+\sqrt5}2 decrescer geometricamente. Logo, para n=2024 o valor de x_{2024} está extremamente próximo de
\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1{,}618.

Passo 5

Comparando com as alternativas:
(A) 1
(B) 1{,}515
(C) 1{,}601
(D) 1{,}618
a que melhor coincide com o limite é a opção (D).

Resposta

(D) 1,618

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