Resolva o problema de valor inicial dado.
y\left({ }^{4}\right)-4 y=0 ;\quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=-2, \quad y^{\prime \prime \prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de quarta ordem
y^{(4)} - 4\,y = 0
com as condições iniciais \;y(0)=1,\;y'(0)=0,\;y''(0)=-2,\;y'''(0)=0.
O conteúdo aqui é resolver equação com coeficientes constantes usando a equação característica.

Passo 2

Montamos a equação característica associada:
r^4 - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm \sqrt{2},\;\pm i\sqrt{2}.
Como temos duas raízes reais e um par de raízes imaginárias, a solução geral é
y(x) = A e^{\sqrt{2}\,x} + B e^{-\sqrt{2}\,x} + C \cos\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr) + D \sin\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas até a terceira ordem e avaliamos em x=0:
y(0)=A + B + C = 1,
y'(x)=A\sqrt{2}e^{\sqrt{2}x}-B\sqrt{2}e^{-\sqrt{2}x} -C\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}x)+D\sqrt{2}\cos(\sqrt{2}x),
y'(0)=\sqrt{2}\,(A - B + D)=0,
y''(x)=2A e^{\sqrt{2}x}+2B e^{-\sqrt{2}x}-2C\cos(\sqrt{2}x)-2D\sin(\sqrt{2}x),
y''(0)=2\,(A + B - C)=-2,
y'''(x)=2\sqrt{2}A e^{\sqrt{2}x}-2\sqrt{2}B e^{-\sqrt{2}x} +2\sqrt{2}C\sin(\sqrt{2}x)-2\sqrt{2}D\cos(\sqrt{2}x),
y'''(0)=2\sqrt{2}\,(A - B - D)=0.
Assim temos o sistema
\begin{cases} A + B + C = 1,\\\ A - B + D = 0,\\\ A + B - C = -1,\\\ A - B - D = 0. \end{cases}

Passo 4

Do segundo e quarto equações vem A - B = 0 e D=0. Logo A=B e D=0.
Substituindo em \;A+B+C=1 e \;A+B-C=-1
fica \;2A + C=1 e \;2A - C=-1.
Somando, 4A=0\Rightarrow A=0. Então B=0 e C=1.

Resposta

y(x) = \cos\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr).

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