Resolva o problema de valor inicial dado.
y\left({ }^{4}\right)-y=0 ;\quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=1, \quad y^{\prime \prime \prime}(0)=0

Passo 1

O problema é resolver a equação diferencial linear de ordem quatro com coeficientes constantes
y^{(4)} - y = 0
sujeita às condições iniciais
y(0)=1,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=1,\quad y'''(0)=0.
Vamos usar o método do polinômio característico para obter a solução geral e depois ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Formamos o polinômio característico trocando y^{(k)} por r^k:
r^4 - 1 = 0.
As raízes dessa equação são as soluções de r^4 = 1, ou seja
r = 1,\quad r = -1,\quad r = i,\quad r = -i.

Passo 3

Como as raízes são simples e incluem conjugados complexos, a solução geral é
y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + C_3 \cos x + C_4 \sin x,
onde C_1,C_2,C_3,C_4 são constantes a determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas até a terceira para aplicar as condições iniciais:
y'(x) = C_1 e^x - C_2 e^{-x} - C_3 \sin x + C_4 \cos x,
y''(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x} - C_3 \cos x - C_4 \sin x,
y'''(x) = C_1 e^x - C_2 e^{-x} + C_3 \sin x - C_4 \cos x.

Passo 5

Aplicando as condições em x=0:
  1. y(0)=1
C_1 + C_2 + C_3 = 1.
  1. y'(0)=0
C_1 - C_2 + C_4 = 0.
  1. y''(0)=1
C_1 + C_2 - C_3 = 1.
  1. y'''(0)=0
C_1 - C_2 - C_4 = 0.

Passo 6

Do sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 + C_3 = 1,\\\ C_1 + C_2 - C_3 = 1,\\\ C_1 - C_2 + C_4 = 0,\\\ C_1 - C_2 - C_4 = 0, \end{cases}
vemos que da soma e diferença das duas primeiras equações vem C_3=0 e C_1 + C_2=1.
Das últimas duas, somando e subtraindo, obtemos C_4=0 e C_1=C_2.
Logo
C_1 = C_2 = \frac12,\quad C_3 = 0,\quad C_4 = 0.

Passo 7

Substituindo essas constantes na solução geral, obtemos a solução particular
y(x) = \frac12 e^x + \frac12 e^{-x} = \operatorname{cosh} x.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(x) = \operatorname{cosh} x.

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