Observe a expressão algébrica apresentada no quadro abaixo.
\frac{25-10 x+x^{2}}{25-x^{2}}
Uma forma simplificada dessa expressão está apresentada em
A) -2 x.
B) -10 x.
C) \frac{5+x}{5-x}
D) \frac{5-x}{5+x}.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão racional
\frac{25-10x+x^{2}}{25-x^{2}}
usando técnicas de fatoração de polinômios, em particular identificação de quadrado perfeito no numerador e diferença de quadrados no denominador.

Passo 2

Vamos fatorar o numerador reconhecendo-o como um quadrado perfeito. Note que
25 - 10x + x^{2} = (5 - x)^{2}.

Passo 3

Agora fatoramos o denominador usando diferença de quadrados:
25 - x^{2} = (5 - x)(5 + x).

Passo 4

Substituindo essas fatorações na fração e cancelando o fator comum (5 - x) (desde que x\neq5 e x\neq -5) obtemos
\frac{25-10x+x^{2}}{25-x^{2}} = \frac{(5 - x)^{2}}{(5 - x)(5 + x)} = \frac{5 - x}{5 + x}.

Resposta

D) \displaystyle \frac{5 - x}{5 + x}

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