Seja A,+, um anel qualquer. Vamos definir potência de um elemento x in A (usando a associatividade do produto) do seguinte modo:
x^1=x, x^2=x cdot x, ldots, x^n=x^n-1 cdot x, n >= 2
Prove as seguintes propriedades forall m, n in N-0
Se x y=y x então (x+y)^n=sumi=1^nbinomni cdot x^i y^n-i onde binomni=n!(n-i)!i!

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um anel $ A $ com as operações de adição e multiplicação. Queremos provar que, se dois elementos $ x $ e $ y $ no anel comutam (ou seja, $ xy = yx $), então a potência de $ x + y $ elevada a $ n $ pode ser expandida usando a fórmula do Teorema Binomial. A fórmula que precisamos provar é:
A
Para resolver isso, vamos usar indução matemática e a propriedade de comutação dos elementos $ x $ e $ y $.

Passo 2

Vamos começar pela base da indução, ou seja, verificar se a fórmula funciona para $ n = 1 $.
Para $ n = 1 $:
n = 1
E, pela fórmula do teorema binomial:
n = 1
Então, na verdade, parece que há um pequeno ajuste necessário na fórmula. A fórmula correta deve incluir o termo $ i = 0 $ também. Vamos corrigir isso:
(x + y)^1 = x + y
Agora, para $ n = 1 $:
sumi=1^1 binom1i cdot x^i y^1-i = binom11 cdot x^1 y^0 = 1 cdot x cdot 1 = x
E:
i = 0
Portanto, a fórmula está correta para $ n = 1 $.

Passo 3

Hipótese de indução: Vamos assumir que a fórmula vale para algum inteiro $ k \geq 1 $, ou seja,
k >= 1

Passo 4

Passo indutivo: Precisamos mostrar que, se a fórmula vale para $ n = k $, então também vale para $ n = k + 1 $.
Vamos considerar:
n = k
Pela hipótese de indução:
n = k + 1
Vamos distribuir a multiplicação:
(x + y)^k+1 = (x + y)^k cdot (x + y)
Simplificando os termos:
(x + y)^k+1 = ( sumi=0^k binomki x^i y^k-i ) cdot (x + y)
Vamos reorganizar os índices das somas para combiná-las:
Para o primeiro somatório, faça $ j = i + 1 $, então $ i = j - 1 $:
= sumi=0^k binomki x^i y^k-i cdot x + sumi=0^k binomki x^i y^k-i cdot y
O segundo somatório permanece:
= sumi=0^k binomki x^i+1 y^k-i + sumi=0^k binomki x^i y^k-i+1
Agora, juntando os dois somatórios:
j = i + 1
Podemos combinar os termos dos dois somatórios:
i = j - 1
Sabemos pela identidade binomial que:
sumj=1^k+1 binomkj-1 x^j y^k - (j-1) = sumj=1^k+1 binomkj-1 x^j y^(k+1)-j
Portanto:
sumi=0^k binomki x^i y^(k+1)-i
Isso completa a prova pelo princípio da indução.

Resposta

Provaram-se as propriedades, portanto para todo $ n \in \mathbb{N}-{0} $ com $ xy = yx $, temos:
n in N-0

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