Seja
, um anel qualquer. Vamos definir potência de um elemento
(usando a associatividade do produto) do seguinte modo:
Prove as seguintes propriedades
Se
então
onde
Se
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um anel $ A $ com as operações de adição e multiplicação. Queremos provar que, se dois elementos $ x $ e $ y $ no anel comutam (ou seja, $ xy = yx $), então a potência de $ x + y $ elevada a $ n $ pode ser expandida usando a fórmula do Teorema Binomial. A fórmula que precisamos provar é:
Para resolver isso, vamos usar indução matemática e a propriedade de comutação dos elementos $ x $ e $ y $.
Passo 2
Vamos começar pela base da indução, ou seja, verificar se a fórmula funciona para $ n = 1 $.
Para $ n = 1 $:
E, pela fórmula do teorema binomial:
Então, na verdade, parece que há um pequeno ajuste necessário na fórmula. A fórmula correta deve incluir o termo $ i = 0 $ também. Vamos corrigir isso:
Agora, para $ n = 1 $:
E:
Portanto, a fórmula está correta para $ n = 1 $.
Passo 3
Hipótese de indução: Vamos assumir que a fórmula vale para algum inteiro $ k \geq 1 $, ou seja,
Passo 4
Passo indutivo: Precisamos mostrar que, se a fórmula vale para $ n = k $, então também vale para $ n = k + 1 $.
Vamos considerar:
Pela hipótese de indução:
Vamos distribuir a multiplicação:
Simplificando os termos:
Vamos reorganizar os índices das somas para combiná-las:
Para o primeiro somatório, faça $ j = i + 1 $, então $ i = j - 1 $:
O segundo somatório permanece:
Agora, juntando os dois somatórios:
Podemos combinar os termos dos dois somatórios:
Sabemos pela identidade binomial que:
Portanto:
Isso completa a prova pelo princípio da indução.
Resposta
Provaram-se as propriedades, portanto para todo $ n \in \mathbb{N}-{0} $ com $ xy = yx $, temos: