Considere a função
definida por
Supondo que ela possui uma primitiva
, resolva os itens a seguir.
Mostre que existem
tais que
para todo
, e
para todo
.
Mostre que existem
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f $ definida no intervalo
que é igual a 0 em todos os pontos, exceto em $ x = 1 $, onde ela é igual a 1. A questão fala sobre a primitiva dessa função, chamada $ F $, que é basicamente uma função cuja derivada é $ f $. Nosso objetivo é mostrar que existem constantes $ c_1 $ e $ c_2 $ tais que $ F(x) = c_1 $ para todo $ x $ em $ (0, 1) $ e $ F(x) = c_2 $ para todo $ x $ em $ (1, 2) $. Para resolver isso, precisamos lembrar de como as primitivas funcionam e como elas se comportam em intervalos onde a função derivada é constante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma primitiva $ F $ de $ f $ significa que $ F’(x) = f(x) $ para todo $ x $ no domínio. No nosso caso, $ f(x) = 0 $ para $ x $ em $ [0,1) $ e $ (1,2] $. Isso significa que, nesses intervalos, a derivada de $ F $ é zero. Se a derivada de uma função é zero em um intervalo, isso indica que a função é constante nesse intervalo. Então, em $ (0,1) $ e $ (1,2) $, $ F(x) $ deve ser uma constante, que vamos chamar de $ c_1 $ e $ c_2 $, respectivamente.
Passo 3
Agora, precisamos considerar o ponto $ x = 1 $, onde $ f(x) = 1 $. Nesse ponto, a função $ F $ tem uma mudança na inclinação, porque sua derivada é diferente ali. Porém, como estamos olhando para os intervalos $ (0,1) $ e $ (1,2) $, a constante $ c_1 $ será válida para todo $ x $ em $ (0,1) $ e $ c_2 $ para todo $ x $ em $ (1,2) $, sem precisar nos preocupar com o ponto $ x = 1 $ em si, já que ele não pertence a nenhum desses intervalos abertos.
Passo 4
Para finalizar, concluímos que devido à derivada $ F’(x) = f(x) $ ser zero em $ (0,1) $ e $ (1,2) $, a função $ F(x) $ deve ser constante nesses intervalos. Portanto, existe uma constante $ c_1 $ tal que $ F(x) = c_1 $ para todo $ x $ em $ (0,1) $, e uma constante $ c_2 $ tal que $ F(x) = c_2 $ para todo $ x $ em $ (1,2) $.
Resposta
Existem constantes reais $ c_{1} $ e $ c_{2} $ tais que $ F(x) = c_{1} $ para todo $ x \in (0,1) $ e $ F(x) = c_{2} $ para todo $ x \in (1,2) $.