Considere a função f:[0,2] R definida por
f(x)= 0, & se x in[0,1) cup(1,2] 1, & se x=1
Supondo que ela possui uma primitiva F, resolva os itens a seguir.
Usando a continuidade de F, verifique que c1=c2 e portanto F^prime(1)=0.

Passo 1

Temos a função f:[0,2]to R definida por f(x)=0 em [0,1)cup(1,2] e f(1)=1. Sabendo que existe uma primitiva F de f, vamos usar propriedades de primitivas, continuidade e derivada pontual para mostrar que c1=c2 e depois calcular F'(1).

Passo 2

Como em todo ponto onde f(x)=0, a derivada F'(x)=0 implica que F(x) é constante nesses intervalos. Logo, existiriam constantes c1 e c2 tais que para x<1 temos F(x)=c1 e para x>1 temos F(x)=c2.
Pela continuidade de F em x=1 (primitivas são sempre contínuas), deve valer
limxto1^-F(x)=limxto1^+F(x)=F(1)
Substituindo as expressões constantes, obtemos
c1=F(1)=c2,
logo c1=c2.

Passo 3

Para calcular F'(1), usamos a definição de derivada pontual:
F'(1)=limhto0F(1+h)-F(1)h
Como em ambos os lados de 1 a função F vale a mesma constante c=c1=c2, temos
F'(1)=limhto0c-ch=0

Resposta

c_{1}=c_{2} e ;F’(1)=0

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