Considere a função f:[0,2] R definida por
f(x)= 0, & se x in[0,1) cup(1,2] 1, & se x=1
Supondo que ela possui uma primitiva F, resolva os itens a seguir.
Usando o item anterior e lembrando que F^prime(1)=f(1)=1, conclua que a função F não pode existir, isto é, f não possui primitiva em [0,2].

Passo 1

Temos a função f:[0,2]toR dada por f(x)=0 para xneq1 e f(1)=1. Supondo que exista uma primitiva F de f, vamos usar o teorema fundamental do cálculo para obter uma contradição.

Passo 2

Pelo teorema fundamental do cálculo, para qualquer xin[0,1)cup(1,2] vale
F(x)-F(1)=integral1^xf(t),dt
Como f(t)=0 para tneq1, a integral vale zero e segue que F(x)=F(1) nessas regiões. Logo, F é constante em [0,1) e em (1,2].

Passo 3

Por ser constante à esquerda e à direita de x=1, a derivada lateral em x=1 é zero, ou seja, F'(1)=0. Mas, pela hipótese de primitiva, deve valer F'(1)=f(1)=1, o que é uma contradição.

Passo 4

Chegamos à contradição 0=F'(1)=1. Portanto não pode existir função F tal que F'=f em [0,2].

Resposta

A função f não possui primitiva em [0,2].

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