Considere a função
definida por
Supondo que ela possui uma primitiva
, resolva os itens a seguir.
Usando o item anterior e lembrando que
, conclua que a função
não pode existir, isto é,
não possui primitiva em
.
Usando o item anterior e lembrando que
Passo 1
Temos a função
dada por
para
e
. Supondo que exista uma primitiva
de
, vamos usar o teorema fundamental do cálculo para obter uma contradição.
Passo 2
Pelo teorema fundamental do cálculo, para qualquer
vale
Como
para
, a integral vale zero e segue que
nessas regiões. Logo,
é constante em
e em
.
Passo 3
Por ser constante à esquerda e à direita de
, a derivada lateral em
é zero, ou seja,
. Mas, pela hipótese de primitiva, deve valer
, o que é uma contradição.
Passo 4
Chegamos à contradição
. Portanto não pode existir função
tal que
em
.
Resposta
A função
não possui primitiva em
.