Considere a função f:[0,2] R definida por
f(x)= 0, & se x in[0,1) cup(1,2] 1, & se x=1
Supondo que ela possui uma primitiva F, resolva os itens a seguir.
Explique a razão pela qual o item acima não contradiz o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 1

O enunciado define uma função em [0,2] que vale 0 em todo lugar exceto em x=1, onde vale 1, e pede para explicar por que isso não viola o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). O conteúdo envolve o enunciado do TFC e suas hipóteses.

Passo 2

O TFC diz basicamente o seguinte: se f é contínua em um intervalo [a,b], então a função definida por F(x)=∫_a^x f(t)dt é uma primitiva de f, isto é, F′(x)=f(x) para todo x∈(a,b). Mais ainda, se uma função F é primitiva de f e f é contínua num ponto x₀, então obrigatoriamente F′(x₀)=f(x₀).

Passo 3

No entanto, o TFC exige que f seja contínua no ponto onde queremos igualar F′(x) a f(x). Se f não é contínua em x₀, o TFC deixa de garantir essa igualdade — a derivada de uma primitiva pode não coincidir com f exatamente no ponto de descontinuidade.

Passo 4

Na nossa função f, há uma descontinuidade em x=1, pois lim
_{x→1⁻}f(x)=0, lim
_{x→1⁺}f(x)=0 mas f(1)=1. Logo, mesmo que exista uma primitiva F que seja diferenciável em 1, não teremos F′(1)=f(1). Isso não viola o TFC, porque a hipótese de continuidade em x=1 não está satisfeita.

Passo 5

Portanto, não há contradição: o TFC garante F′(x)=f(x) apenas onde f é contínua, e em x=1 f deixa de ser contínua, liberando a desigualdade entre F′(1) e f(1).

Resposta

Como f é descontínua em x=1 e o Teorema Fundamental do Cálculo só garante F′(x)=f(x) nos pontos onde f é contínua, não há contradição.

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