Determine a solução da EDOs/PVIs a seguir:
(y^2 cos x) d x+(4+5 y sin x) d y=0, y(pi2)=1

Passo 1

No enunciado temos a PVI dada por (y^2cos x),dx + (4+5ysin x),dy = 0 com condição y(tfracpi2)=1. O conteúdo é equações diferenciais exatas e fatores integrantes; vamos verificar exatidão e, se necessário, buscar um fator integrante em função de y.

Passo 2

Calculamos partial M/partial y onde M(x,y)=y^2cos x, obtendo partial M/partial y = 2ycos x, e partial N/partial x onde N(x,y)=4+5ysin x, obtendo partial N/partial x = 5ycos x. Como esses não são iguais, a equação não é exata.

Passo 3

Para encontrar um fator integrante em função de y, usamos a fórmula (partial N/partial x - partial M/partial y)/M = (5ycos x - 2ycos x)/(y^2cos x) = 3/y, que depende apenas de y. Então mu(y)=exp(integral 3/y,dy)=y^3.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial por mu(y)=y^3, resultando em (y^5cos x),dx + (4y^3 + 5y^4sin x),dy = 0. Agora verificamos que partial(Mmu)/partial y = 5y^4cos x = partial(Nmu)/partial x, logo é exata.

Passo 5

Buscamos a função potencial psi(x,y) satisfazendo psix=y^5cos x. Integrando em x psi(x,y)=y^5sin x + h(y). Derivando em y e igualando a Nmu temos psiy=5y^4sin x + h'(y)=4y^3 + 5y^4sin x, logo h'(y)=4y^3 e h(y)=y^4.

Passo 6

A solução geral implícita é psi(x,y)=y^5sin x + y^4=C. Aplicando y(tfracpi2)=1 obtemos $C=1\cdot1 +1=2.

Resposta

A solução particular implícita é y^5sin x + y^4 = 2.

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