Determine a solução da EDOs/PVIs a seguir:
Passo 1
No enunciado temos a PVI dada por
com condição
. O conteúdo é equações diferenciais exatas e fatores integrantes; vamos verificar exatidão e, se necessário, buscar um fator integrante em função de
.
Passo 2
Calculamos
onde
, obtendo
, e
onde
, obtendo
. Como esses não são iguais, a equação não é exata.
Passo 3
Para encontrar um fator integrante em função de
, usamos a fórmula
, que depende apenas de
. Então
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial por
, resultando em
. Agora verificamos que
, logo é exata.
Passo 5
Buscamos a função potencial
satisfazendo
. Integrando em
dá
. Derivando em
e igualando a
temos
, logo
e
.
Passo 6
A solução geral implícita é
. Aplicando
obtemos $C=1\cdot1 +1=2.
Resposta
A solução particular implícita é
.