Considere a função
dada por
. Determine seu valor de máximo e mínimo global.
(4)
Um tanque de água possui o formato de um cone circular invertido, com base de raio de 4 m e altura igual a 6 m . Se a água está sendo bombeada para o tanque a uma taxa de
, encontre a taxa na qual o nível de água está aumentando quando a água estiver a 3 m de profundidade.
(4)
Passo 1
Problema 1: Foi dada a função
definida por
. O que nos pedem: determinar o valor de máximo global e o valor de mínimo global de
no intervalo
. Informações relevantes: fórmula explícita de
e o domínio fechado
.
Problema 2: Um tanque tem formato de cone circular invertido com raio da base igual a
m e altura total igual a
m. A água está sendo bombeada ao tanque à taxa
. O que nos pedem: a taxa
na qual o nível de água (profundidade) está aumentando quando a profundidade é
m. Informações relevantes: raio da base do cone =
m, altura do cone =
m,
, avaliar em
m.
Passo 2
Iniciando a resolução do Problema 1. Método geral para máximos e mínimos globais em um intervalo fechado: devemos encontrar todos os pontos críticos de
dentro do intervalo (pontos onde a derivada é zero ou não existe) e também avaliar
nos extremos do intervalo. O máximo e o mínimo globais entre esses pontos candidatos são as maiores e menores imagens respectivamente. Agora vamos aplicar isso aqui.
Passo 3
Calcule a derivada de
. Explico: a derivada
mede a inclinação da curva em cada ponto; para polinômios usamos regras básicas (derivada de
é
). Assim,
Portanto
Passo 4
Encontre os pontos críticos resolvendo
. Isto dá
Desses, apenas
pertence ao intervalo dado
. Não há pontos onde
não exista, porque
é polinomial e está definida em toda parte.
Passo 5
Liste os candidatos a extremos: pontos críticos internos pertencentes ao intervalo e os extremos do intervalo. Aqui os candidatos são
(extremo esquerdo),
(ponto crítico e também extremo direito). Vamos avaliar
nesses pontos.
Passo 6
Calcule
nos candidatos:
Passo 7
Decida quais são máximo e mínimo globais. Observação: para
temos
então
, ou seja,
é crescente em todo o intervalo interior
. Logo o menor valor ocorre no extremo esquerdo
e o maior no extremo direito
. Conclusão para o Problema 1:
o mínimo global é em
e o máximo global é
em
.
o mínimo global é
Passo 8
Agora resolvendo o Problema 2 (cone). Primeiro, escrevemos a fórmula do volume de um cone: a relação conhecida é
onde
é o raio da superfície livre da água e
é a profundidade/altura da água. Explico:
é a área da base circular da água e multiplicando por
e por
temos o volume do cone de água.
Passo 9
Precisamos relacionar
com
, porque conforme o nível sobe
muda com
. Usamos semelhança de triângulos entre o triângulo do cone inteiro e o triângulo formado pela superfície da água: para o cone total
. A razão permanece para qualquer superfície de água menor, então
Dica prática: sempre que um sólido semelhante encolhe/expande mantendo a forma, essa proporção vale.
Passo 10
Substitua
na fórmula do volume para obter
em função apenas de
:
Isso é útil porque nos dá
como função de uma só variável
, então podemos relacionar as taxas temporais.
Passo 11
Diferencie ambos os lados em relação ao tempo
(regra da cadeia). Explico:
é dado e queremos
. Diferenciando,
Portanto
Passo 12
Resolva para
:
Agora substitua os valores dados:
e
m.
Passo 13
Interpretação numérica e comentário final:
. Isso significa que, quando a água tem 3 m de profundidade, o nível está subindo a aproximadamente
metros por minuto dada a taxa de entrada de volume constante.
Resposta
Problema 1: máximo global
em
; mínimo global
em
.\nProblema 2:
(aprox.
).