Seja a função
dada implicitamente por
. Determine
. Determine a equação da reta tangente no ponto
.
Passo 1
Enunciado e o que nos pedem: a função
é dada implicitamente por
Perguntas:
- Determinar
(ou seja, ) em termos de e . - Determinar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto
.
Informações relevantes dadas:
é a relação que liga
e
.
O ponto onde queremos a tangente é .
Não há mais informações adicionais.
O ponto onde queremos a tangente é
Não há mais informações adicionais.
Passo 2
Estratégia de cálculo do derivado
: como
está definida implicitamente por uma equação envolvendo
e
, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como função de
(ou seja, quando diferenciarmos algo que depende de
aparece uma fator
). Vou lembrar duas regras que usaremos:
- Regra do produto: se temos duas funções de
, e , então
- Regra da cadeia: se
, então ao derivar em relação a obtemos
Essas duas regras são suficientes para diferenciar todos os termos da nossa equação.
Passo 3
Vamos diferenciar termo a termo a equação
em relação a
.
Derivando o primeiro termo
aplicamos a regra do produto com
e
:
Logo
Passo 4
Derivando os outros termos:
-
(por definição, pois é função de ), -
, -
.
Agora juntamos tudo: a derivada de toda a expressão é
Passo 5
Organizamos a expressão para isolar
. Reescrevendo:
Colocamos os termos que contêm
juntos:
Passo 6
Isolando
:
Portanto
Isto é a expressão de
em termos de
e
.
Passo 7
Agora calculamos o valor de
no ponto dado
. Substituímos
e
em
Cálculo do numerador:
Cálculo do denominador:
Logo
A inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 8
Equação da reta tangente: usamos a forma ponto-inclinação
onde
e
. Substituindo:
Simplificando: