(1,5) Seja a função y=y(x) dada implicitamente por x y^{2}+y+x=1. Determine
y^{\prime}. Determine a equação da reta tangente no ponto (0,1).

Passo 1

Enunciado e o que nos pedem: a função y=y(x) é dada implicitamente por
x y^{2} + y + x = 1.
Perguntas:
  1. Determinar y' (ou seja, \dfrac{dy}{dx}) em termos de x e y.
  2. Determinar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto (0,1).
Informações relevantes dadas:
\;x y^{2} + y + x = 1 é a relação que liga x e y.
O ponto onde queremos a tangente é (0,1).
Não há mais informações adicionais.

Passo 2

Estratégia de cálculo do derivado y': como y está definida implicitamente por uma equação envolvendo x e y, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x, tratando y como função de x (ou seja, quando diferenciarmos algo que depende de y aparece uma fator y'=\dfrac{dy}{dx}). Vou lembrar duas regras que usaremos:
  • Regra do produto: se temos duas funções de x, u(x) e v(x), então
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
  • Regra da cadeia: se y=y(x), então ao derivar y^{2} em relação a x obtemos
\frac{d}{dx}[y^{2}] = 2y\cdot y'.
Essas duas regras são suficientes para diferenciar todos os termos da nossa equação.

Passo 3

Vamos diferenciar termo a termo a equação
x y^{2} + y + x = 1
em relação a x.
Derivando o primeiro termo x y^{2} aplicamos a regra do produto com u(x)=x e v(x)=y^{2}:
\frac{d}{dx}[x y^{2}] = \frac{d}{dx}[x]\cdot y^{2} + x\cdot \frac{d}{dx}[y^{2}] = 1\cdot y^{2} + x\cdot(2y y').
Logo
\frac{d}{dx}[x y^{2}] = y^{2} + 2x y y'.

Passo 4

Derivando os outros termos:
  • \dfrac{d}{dx}[y] = y' (por definição, pois y é função de x),
  • \dfrac{d}{dx}[x] = 1,
  • \dfrac{d}{dx}[1] = 0.
Agora juntamos tudo: a derivada de toda a expressão é
\bigl(y^{2} + 2x y y'\bigr) + y' + 1 = 0.

Passo 5

Organizamos a expressão para isolar y'. Reescrevendo:
y^{2} + 2x y y' + y' + 1 = 0.
Colocamos os termos que contêm y' juntos:
(2x y + 1)\,y' + (y^{2} + 1) = 0.

Passo 6

Isolando y':
(2x y + 1)\,y' = -(y^{2} + 1).
Portanto
y' = -\frac{y^{2} + 1}{2x y + 1}.
Isto é a expressão de \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.

Passo 7

Agora calculamos o valor de y' no ponto dado (0,1). Substituímos x=0 e y=1 em
y' = -\frac{y^{2} + 1}{2x y + 1}.
Cálculo do numerador:
y^{2}+1 = 1^{2} + 1 = 2.
Cálculo do denominador:
2x y + 1 = 2\cdot 0\cdot 1 + 1 = 1.
Logo
y'(0,1) = -\frac{2}{1} = -2.
A inclinação da reta tangente no ponto (0,1) é -2.

Passo 8

Equação da reta tangente: usamos a forma ponto-inclinação
y - y_{0} = m(x - x_{0}),
onde (x_{0},y_{0})=(0,1) e m=y'(0,1)=-2. Substituindo:
y - 1 = -2(x - 0).
Simplificando:
y - 1 = -2x \quad\Rightarrow\quad y = -2x + 1.

Resposta

\displaystyle y' = -\frac{y^{2}+1}{2xy+1}
\displaystyle \text{Reta tangente em }(0,1):\; y = -2x + 1

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