(1.5) Considere a função f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}+x e^{\cos (2 x)}+\sqrt{3 x+x^{2}+1}. Calcule a primeira derivada da função. Calcule f^{\prime}(x) no ponto x=0.
Calcular a primeira derivada da função, isto é f'(x).
Calcular o valor f'(0).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a função é soma de três parcelas distintas:
\text{(i)}\quad \frac{x}{x^{2}+1},\qquad \text{(ii)}\quad x e^{\cos(2x)},\qquad \text{(iii)}\quad \sqrt{3x+x^{2}+1}=(3x+x^{2}+1)^{1/2}.
Vamos derivar termo a termo e depois avaliar em x=0.
Passo 2
Regra básica que usaremos (explicação didática):
Derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, se g(x)=g_1(x)+g_2(x)+g_3(x) então g'(x)=g_1'(x)+g_2'(x)+g_3'(x). Isso é direto da definição e facilita: derivamos cada parcela separadamente.
Para cada parcela:
Para \frac{x}{x^2+1} vou aplicar a regra do quociente: se u(x)/v(x) então\bigg(\frac{u}{v}\bigg)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.Aqui u(x)=x e v(x)=x^2+1.
Para x e^{\cos(2x)} uso a regra do produto: se u(x)v(x) então(uv)'=u'v+uv'.Também preciso do fato de que a derivada de e^{h(x)} é e^{h(x)}\cdot h'(x) (regra da cadeia).
Para (3x+x^{2}+1)^{1/2} uso a regra da cadeia: se h(x)=[g(x)]^{1/2} entãoh'(x)=\tfrac{1}{2}[g(x)]^{-1/2}\cdot g'(x).
Vou agora aplicar cada regra com calma e passo a passo.
Passo 3
Derivada da primeira parcela \frac{x}{x^{2}+1} usando a regra do quociente.
Defino u(x)=x e v(x)=x^{2}+1. Então u'(x)=1 e v'(x)=2x.
Derivada da segunda parcela x e^{\cos(2x)} usando produto + cadeia.
Aqui u(x)=x e v(x)=e^{\cos(2x)}. Então u'(x)=1. Para v'(x) uso derivada de exponencial composta: a derivada de e^{\cos(2x)} é e^{\cos(2x)} vezes a derivada de \cos(2x). A derivada de \cos(2x) é -\sin(2x)\cdot 2 (pela cadeia: derivada de \cos é -\sin e derivada de 2x é 2). Logo