(1.5) Considere a função f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}+x e^{\cos (2 x)}+\sqrt{3 x+x^{2}+1}. Calcule a primeira derivada da função. Calcule f^{\prime}(x) no ponto x=0.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}+x e^{\cos (2 x)}+\sqrt{3 x+x^{2}+1}
e pede duas coisas:
  1. Calcular a primeira derivada da função, isto é f'(x).
  2. Calcular o valor f'(0).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a função é soma de três parcelas distintas:
\text{(i)}\quad \frac{x}{x^{2}+1},\qquad \text{(ii)}\quad x e^{\cos(2x)},\qquad \text{(iii)}\quad \sqrt{3x+x^{2}+1}=(3x+x^{2}+1)^{1/2}.
Vamos derivar termo a termo e depois avaliar em x=0.

Passo 2

Regra básica que usaremos (explicação didática):
  • Derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, se g(x)=g_1(x)+g_2(x)+g_3(x) então g'(x)=g_1'(x)+g_2'(x)+g_3'(x). Isso é direto da definição e facilita: derivamos cada parcela separadamente.
  • Para cada parcela:
    • Para \frac{x}{x^2+1} vou aplicar a regra do quociente: se u(x)/v(x) então \bigg(\frac{u}{v}\bigg)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.Aqui u(x)=x e v(x)=x^2+1.
    • Para x e^{\cos(2x)} uso a regra do produto: se u(x)v(x) então (uv)'=u'v+uv'.Também preciso do fato de que a derivada de e^{h(x)} é e^{h(x)}\cdot h'(x) (regra da cadeia).
    • Para (3x+x^{2}+1)^{1/2} uso a regra da cadeia: se h(x)=[g(x)]^{1/2} então h'(x)=\tfrac{1}{2}[g(x)]^{-1/2}\cdot g'(x).
Vou agora aplicar cada regra com calma e passo a passo.

Passo 3

Derivada da primeira parcela \frac{x}{x^{2}+1} usando a regra do quociente.
Defino u(x)=x e v(x)=x^{2}+1. Então u'(x)=1 e v'(x)=2x.
Aplicando a fórmula do quociente:
\bigg(\frac{x}{x^{2}+1}\bigg)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} =\frac{1\cdot (x^{2}+1)-x\cdot(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}.
Agora simplifico o numerador:
1\cdot (x^{2}+1)-x\cdot(2x)=x^{2}+1-2x^{2}=1-x^{2}.
Portanto a derivada da primeira parcela é
\bigg(\frac{x}{x^{2}+1}\bigg)'=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 4

Derivada da segunda parcela x e^{\cos(2x)} usando produto + cadeia.
Aqui u(x)=x e v(x)=e^{\cos(2x)}. Então u'(x)=1. Para v'(x) uso derivada de exponencial composta: a derivada de e^{\cos(2x)} é e^{\cos(2x)} vezes a derivada de \cos(2x). A derivada de \cos(2x) é -\sin(2x)\cdot 2 (pela cadeia: derivada de \cos é -\sin e derivada de 2x é 2). Logo
v'(x)=e^{\cos(2x)}\cdot(-2\sin(2x))=-2e^{\cos(2x)}\sin(2x).
Agora aplico a regra do produto:
\big(x e^{\cos(2x)}\big)'=u'v+uv' =1\cdot e^{\cos(2x)}+x\cdot\big(-2e^{\cos(2x)}\sin(2x)\big).
Organizando:
\big(x e^{\cos(2x)}\big)'=e^{\cos(2x)}-2x e^{\cos(2x)}\sin(2x).
Se quiser, posso fatorar e^{\cos(2x)}:
\big(x e^{\cos(2x)}\big)'=e^{\cos(2x)}\big(1-2x\sin(2x)\big).

Passo 5

Derivada da terceira parcela \sqrt{3x+x^{2}+1}=(3x+x^{2}+1)^{1/2} usando a regra da cadeia.
Se h(x)=[g(x)]^{1/2} então h'(x)=\tfrac{1}{2}[g(x)]^{-1/2}\cdot g'(x). Aqui g(x)=3x+x^{2}+1. A derivada de g é g'(x)=3+2x.
Aplicando:
\big( (3x+x^{2}+1)^{1/2}\big)'=\frac{1}{2}(3x+x^{2}+1)^{-1/2}\cdot(3+2x).
Voltando para a forma com raiz:
\big( \sqrt{3x+x^{2}+1}\big)'=\frac{3+2x}{2\sqrt{3x+x^{2}+1}}.

Passo 6

Agora somo as derivadas das três parcelas (regra da soma). Assim obtém-se f'(x):
f'(x)=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}+\big(e^{\cos(2x)}-2x e^{\cos(2x)}\sin(2x)\big)+\frac{3+2x}{2\sqrt{3x+x^{2}+1}}.
Posso reescrever de forma um pouco mais compacta, fatorando e^{\cos(2x)} na parcela do meio, se preferir:
f'(x)=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}+e^{\cos(2x)}\big(1-2x\sin(2x)\big)+\frac{3+2x}{2\sqrt{3x+x^{2}+1}}.

Passo 7

Avaliação em x=0. Vou calcular cada parcela de f'(x) em x=0.
Primeira parcela:
\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}\Big|_{x=0}=\frac{1-0}{(0+1)^{2}}=\frac{1}{1}=1.
Segunda parcela (use a forma não fatorada ou fatorada; aqui é simples):
\big(e^{\cos(2x)}-2x e^{\cos(2x)}\sin(2x)\big)\Big|_{x=0}=e^{\cos(0)}-2\cdot 0\cdot e^{\cos(0)}\sin(0).
Sabemos que \cos(0)=1 e \sin(0)=0, então isso dá
e^{1}-0=e.
Terceira parcela:
\frac{3+2x}{2\sqrt{3x+x^{2}+1}}\Big|_{x=0}=\frac{3+0}{2\sqrt{0+0+1}}=\frac{3}{2\cdot 1}=\frac{3}{2}.
Somando tudo:
f'(0)=1+e+\frac{3}{2}=e+\frac{5}{2}.

Resposta

f'(x)=\dfrac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}+e^{\cos(2x)}\big(1-2x\sin(2x)\big)+\dfrac{3+2x}{2\sqrt{3x+x^{2}+1}}
f'(0)=e+\dfrac{5}{2}

Exercícios relacionados