A Definição formal de integral no contexto de somas de Riemann é dada como descrita a seguir. Seja f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} uma função limitada, isto é, existe um M>0 tal que |f(x)| \leq M, para todo x \in[a, b]. Considere uma partição do intervalo [a, b] dada por
P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}, \quad a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b
e denote \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}.
Escolha, em cada subintervalo \left[x_{i-1}, x_{i}\right], um ponto qualquer \xi_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right]. A soma de Riemann associada à partição P é definida por
S(f, P)=\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}
Dizemos que a função f é integrável (no sentido de Riemann) em [ a, b ] se existe um número real I tal que, para toda sequência de partições cuja malha tende a zero (isto é, n \rightarrow+\infty ou \max _{i} \Delta x_{i} \rightarrow 0 ), as somas de Riemann convergem para I, independentemente da escolha dos pontos \xi_{i}.
Neste caso, o número I é chamado de integral de Riemann de f em [a, b] e é denotado por
\int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}
Com base nessa definição, responda. Caso os retângulos utilizados nas somas de Riemann sejam substituídos por trapézios, a definição de integral continua válida? Em outras palavras, é possível definir a integral de uma função utilizando trapézios no lugar de retângulos? Se possível, defina formalmente a integral utilizando trapézios.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pergunta principal: Se, ao substituir os retângulos por trapézios nas somas de Riemann, a definição de integral continua válida; em outras palavras, é possível definir a integral usando trapézios em vez de retângulos? Se sim, pedir para dar uma definição formal.
  • Dados relevantes (já apresentados no enunciado):
    • f:[a,b]\to\mathbb{R} é limitada (existe M>0 tal que |f(x)|\le M para todo x\in[a,b]).
    • Uma partição P=\{x_0,\dots,x_n\} com a=x_0<\cdots<x_n=b e \Delta x_i=x_i-x_{i-1}.
    • Na definição usual de integral por somas de Riemann escolhe-se um ponto \xi_i\in[x_{i-1},x_i] e se forma
    S(f,P)=\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i.
  • O enunciado quer saber se, ao substituir os retângulos por trapézios (isto é, aproximar a área em cada subintervalo por um trapézio cujos lados verticais são os valores nos extremos), mantém-se uma definição de integral equivalente, e pede a definição formal dessa soma por trapézios.

Passo 2

Definição natural das somas por trapézios (intuição e fórmula).
  • Intuição: em cada subintervalo [x_{i-1},x_i], em vez de aproximar a contribuição por f(\xi_i)\Delta x_i (retângulo de altura f(\xi_i)), aproximamos pela área do trapézio com bases f(x_{i-1}) e f(x_i). A área desse trapézio é a média das bases vezes a largura:
\text{área do trapézio no subintervalo }[x_{i-1},x_i]=\frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}\,\Delta x_i.áé
  • Portanto, para uma partição P definimos a soma por trapézios
T(f,P)=\sum_{i=1}^n \frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}\,\Delta x_i.
Expliquei cada símbolo: f(x_{i-1}),f(x_i) são os valores da função nos extremos do i-ésimo subintervalo; \Delta x_i é a largura do subintervalo; a fração 1/2 vem da média das duas bases do trapézio.

Passo 3

Relação simples entre soma de trapézios e as somas de Riemann com pontos extremos (esclarecimento útil).
  • Defina as somas de Riemann que usam sempre o ponto esquerdo (soma à esquerda) e sempre o ponto direito (soma à direita):
L(f,P)=\sum_{i=1}^n f(x_{i-1})\Delta x_i,\qquad R(f,P)=\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x_i.
  • Observação algebraica imediata:
T(f,P)=\sum_{i=1}^n \frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}\Delta x_i=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n f(x_{i-1})\Delta x_i+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x_i=\frac{L(f,P)+R(f,P)}{2}.
  • Interpretação: a soma por trapézios é simplesmente a média aritmética da soma à esquerda e da soma à direita para a mesma partição.

Passo 4

Se f é integrável (definição usual), então as somas por trapézios convergem para o mesmo valor.
  • Pela hipótese de integrabilidade de f no sentido usual, todas as somas de Riemann com malha tendendo a zero convergem para o mesmo número I=\int_a^b f(x)\,dx, independentemente da escolha dos pontos \xi_i.
  • Em particular, as somas à esquerda L(f,P) e as somas à direita R(f,P) são casos especiais de somas de Riemann (escolhendo sempre \xi_i=x_{i-1} ou \xi_i=x_i). Logo, quando \|P\|=\max_i\Delta x_i\to0 vale
\lim_{\|P\|\to0}L(f,P)=I,\qquad \lim_{\|P\|\to0}R(f,P)=I.
  • Como T(f,P)=\tfrac{1}{2}(L(f,P)+R(f,P)), pela propriedade limite de médias temos
\lim_{\|P\|\to0}T(f,P)=\tfrac{1}{2}\bigl(\lim L(f,P)+\lim R(f,P)\bigr)=\tfrac{1}{2}(I+I)=I.
  • Conclusão parcial e intuitiva: se f é Riemann-integrável, então as somas por trapézios, para qualquer sequência de partições cuja malha tende a zero, convergem para o mesmo valor I. Portanto, usar trapézios também dá a mesma integral.

Passo 5

Definição formal da integral usando trapézios (o enunciado pediu uma definição formal).
  • Podemos então definir, exatamente análogo à definição de Riemann por retângulos, a integral por trapézios assim:
\text{Se existe um número real }J\text{ tal que, para toda sequência de partições }P\text{ com }\|P\|\to0,\; \lim \,T(f,P)=J\text{ (independente de como a partição é escolhida),}úêçõçãé
então definimos
\int_a^b f(x)\,dx:=\lim_{\|P\|\to0}\sum_{i=1}^n\frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}\,\Delta x_i.
  • Comentário didático: esta é a versão formal substituindo os retângulos pelos trapézios. A expressão dentro do limite é T(f,P) definida no Passo 2; a condição “independente da partição, desde que \|P\|\to0” é análoga à condição usada para as somas de Riemann.

Passo 6

Equivalência (comentário final e exemplo prático simples para fixar a ideia).
  • Resultado prático: a definição por trapézios é totalmente compatível com a definição clássica por somas de Riemann. Em particular, se f é Riemann-integrável então o limite das somas por trapézios existe e é igual à integral de Riemann. Assim, definir a integral via trapézios é uma alternativa válida (e a definição que se obtém é equivalente à original).
  • Exemplo breve e direto (para sentir as contas): tome f(x)=x em [0,1] e partição uniforme com n subintervalos \Delta x=1/n. Então
T(f,P)=\sum_{i=1}^n\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\cdot\frac{1}{n} =\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^n\bigl(\tfrac{i-1}{n}+\tfrac{i}{n}\bigr) =\frac{1}{2n}\cdot\frac{2}{n}\sum_{i=1}^n i-\frac{1}{2n}\cdot\frac{1}{n}\cdot n
(outra forma direta dá)
T(f,P)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n i-\frac{1}{2n^2}\sum_{i=1}^n 1 =\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}-\frac{1}{2n} =\frac{n+1}{2n}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{2},
logo \lim_{n\to\infty}T(f,P)=\tfrac{1}{2}, que é a integral correta \int_0^1 x\,dx=\tfrac{1}{2}. (Este cálculo mostra concretamente que a soma por trapézios dá o mesmo resultado neste caso simples.)

Resposta

Sim. Pode-se definir a integral por trapézios: se existir o limite (independente da escolha das partições) então
\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\|P\|\to0}\sum_{i=1}^n\frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}\,\Delta x_i.
Além disso, se f é Riemann-integrável pela definição usual, as somas por trapézios também convergem para o mesmo valor, de modo que as duas definições são equivalentes.

Exercícios relacionados