A Definição formal de integral no contexto de somas de Riemann é dada como descrita a seguir. Seja
uma função limitada, isto é, existe um
tal que
, para todo
. Considere uma partição do intervalo
dada por
e denote
.
Escolha, em cada subintervalo
, um ponto qualquer
. A soma de Riemann associada à partição
é definida por
Dizemos que a função
é integrável (no sentido de Riemann) em [
] se existe um número real
tal que, para toda sequência de partições cuja malha tende a zero (isto é,
ou
), as somas de Riemann convergem para
, independentemente da escolha dos pontos
.
Neste caso, o número I é chamado de integral de Riemann de
em
e é denotado por
Com base nessa definição, responda. Caso os retângulos utilizados nas somas de Riemann sejam substituídos por trapézios, a definição de integral continua válida? Em outras palavras, é possível definir a integral de uma função utilizando trapézios no lugar de retângulos? Se possível, defina formalmente a integral utilizando trapézios.
Escolha, em cada subintervalo
Neste caso, o número I é chamado de integral de Riemann de
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pergunta principal: Se, ao substituir os retângulos por trapézios nas somas de Riemann, a definição de integral continua válida; em outras palavras, é possível definir a integral usando trapézios em vez de retângulos? Se sim, pedir para dar uma definição formal.
- Dados relevantes (já apresentados no enunciado):
-
é limitada (existe tal que para todo ). - Uma partição
com e . - Na definição usual de integral por somas de Riemann escolhe-se um ponto
e se forma
-
- O enunciado quer saber se, ao substituir os retângulos por trapézios (isto é, aproximar a área em cada subintervalo por um trapézio cujos lados verticais são os valores nos extremos), mantém-se uma definição de integral equivalente, e pede a definição formal dessa soma por trapézios.
Passo 2
Definição natural das somas por trapézios (intuição e fórmula).
- Intuição: em cada subintervalo
, em vez de aproximar a contribuição por (retângulo de altura ), aproximamos pela área do trapézio com bases e . A área desse trapézio é a média das bases vezes a largura:
- Portanto, para uma partição
definimos a soma por trapézios
Expliquei cada símbolo:
são os valores da função nos extremos do
-ésimo subintervalo;
é a largura do subintervalo; a fração
vem da média das duas bases do trapézio.
Passo 3
Relação simples entre soma de trapézios e as somas de Riemann com pontos extremos (esclarecimento útil).
- Defina as somas de Riemann que usam sempre o ponto esquerdo (soma à esquerda) e sempre o ponto direito (soma à direita):
- Observação algebraica imediata:
- Interpretação: a soma por trapézios é simplesmente a média aritmética da soma à esquerda e da soma à direita para a mesma partição.
Passo 4
Se
é integrável (definição usual), então as somas por trapézios convergem para o mesmo valor.
- Pela hipótese de integrabilidade de
no sentido usual, todas as somas de Riemann com malha tendendo a zero convergem para o mesmo número , independentemente da escolha dos pontos . - Em particular, as somas à esquerda
e as somas à direita são casos especiais de somas de Riemann (escolhendo sempre ou ). Logo, quando vale
- Como
, pela propriedade limite de médias temos
- Conclusão parcial e intuitiva: se
é Riemann-integrável, então as somas por trapézios, para qualquer sequência de partições cuja malha tende a zero, convergem para o mesmo valor . Portanto, usar trapézios também dá a mesma integral.
Passo 5
Definição formal da integral usando trapézios (o enunciado pediu uma definição formal).
- Podemos então definir, exatamente análogo à definição de Riemann por retângulos, a integral por trapézios assim:
então definimos
- Comentário didático: esta é a versão formal substituindo os retângulos pelos trapézios. A expressão dentro do limite é
definida no Passo 2; a condição “independente da partição, desde que ” é análoga à condição usada para as somas de Riemann.
Passo 6
Equivalência (comentário final e exemplo prático simples para fixar a ideia).
- Resultado prático: a definição por trapézios é totalmente compatível com a definição clássica por somas de Riemann. Em particular, se
é Riemann-integrável então o limite das somas por trapézios existe e é igual à integral de Riemann. Assim, definir a integral via trapézios é uma alternativa válida (e a definição que se obtém é equivalente à original). - Exemplo breve e direto (para sentir as contas): tome
em e partição uniforme com subintervalos . Então
(outra forma direta dá)
logo
, que é a integral correta
. (Este cálculo mostra concretamente que a soma por trapézios dá o mesmo resultado neste caso simples.)
Resposta
Sim. Pode-se definir a integral por trapézios: se existir o limite (independente da escolha das partições) então
Além disso, se
é Riemann-integrável pela definição usual, as somas por trapézios também convergem para o mesmo valor, de modo que as duas definições são equivalentes.