Considere a função g:[0,+infty[ R dada por
g(x)= 0, & se 0 <= x <= 22847,76 0,075, & se 22847,76
Denote por f a função que representa o valor do imposto de renda devido referente a uma base de cálculo de x reais (que você construiu no Exercício 12 da Lista 0). Mostre que f(x)=integral0^x g(t) d t (arredondando até a segunda casa decimal).

Passo 1

A questão pede pra mostrar que a função do imposto devido f(x) coincide com a integral da taxa marginal g(t) de 0 até x, ou seja, que f(x)=∫₀ˣ g(t)dt. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais definidas em função por partes, e vamos precisar usar a ideia de que, quando g é constante em cada intervalo, ∫_a^b g(t)dt = g·(b−a).

Passo 2

Definimos os pontos de quebra (limiares) da função g: b₁=22847,76; b₂=33919,80; b₃=45012,60; b₄=55976,16. Para calcular f(x)=∫₀ˣ g(t)dt, dividimos o intervalo [0,x] em pedaços conforme esses limiares.

Passo 3

Se 0 ≤ x ≤ b₁, então em todo [0,x] temos g(t)=0. Logo
f(x)=integral0^x0,dt=0

Passo 4

Se b₁ < x ≤ b₂, partimos a integral em [0,b₁] e [b₁,x]:
f(x)=integral0^b₁0,dt+integralb₁^x0,075,dt=0,075,(x - b₁)
Substituindo b₁=22847,76 e arredondando duas casas,
f(x)=0,075x - 1713,58

Passo 5

Se b₂ < x ≤ b₃, somamos a área já paga até b₂ com a área de [b₂,x]:
A2=0,075(b₂ - b₁)=0,075,(33919,80-22847,76)approx830,40,
f(x)=A2+0,15(x - b₂)=830,40+0,15(x - 33919,80) =0,15x - 4257,57

Passo 6

Se b₃ < x ≤ b₄, acumulamos também a terceira faixa:
A3=A2+0,15(b₃ - b₂)=830,40+0,15,(45012,60-33919,80)approx2494,32,
f(x)=A3+0,225(x - b₃)=2494,32+0,225(x - 45012,60) =0,225x - 7633,51

Passo 7

Se x > b₄, juntamos todas as faixas anteriores:
A4=A3+0,225(b₄ - b₃)=2494,32+0,225,(55976,16-45012,60)approx4961,12,
f(x)=A4+0,275(x - b₄)=4961,12+0,275(x - 55976,16) =0,275x - 10433,32

Resposta

f(x)= 0, & 0<= x<=22847,76, 0,075x - 1713,58, & 22847,76< x<=33919,80, 0,15x - 4257,57, & 33919,80< x<=45012,60, 0,225x - 7633,51, & 45012,60< x<=55976,16, 0,275x -10433,32, & x>55976,16

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