Seja f uma função contínua em um intervalo I contendo a origem e seja
y=y(x)=integral0^x sin (x-t) f(t) d t
Prove que y^prime prime+y=f(x) e y(0)=y^prime(0)=0, para todo x in I.

Passo 1

O enunciado define a função
y(x)=integral0^xsin(x-t),f(t),dt
com f contínua em I, e pede para mostrar que y satisfaz a equação diferencial
y''+y=f(x)
além de y(0)=y’(0)=0. Vamos usar a regra de Leibniz para diferenciar integrais dependentes do limite e do integrando.

Passo 2

Para calcular y’(x) aplicamos a regra de Leibniz:
  1. Derivada do integrando em relação a x (mantendo o limite): partialx[sin(x-t)] = cos(x-t).
  2. Soma-se o termo de avaliação no limite superior, que é sin(x-x)f(x)=0, pois sin0=0.
    Logo,
y'(x)=integral0^xcos(x-t),f(t),dt

Passo 3

Agora derivamos mais uma vez para achar y’’(x):
  1. Pelo mesmo raciocínio, partialx[cos(x-t)] = -sin(x-t).
  2. No limite superior, surge cos(x-x)f(x)=f(x), pois cos0=1.
    Assim,
y''(x)=integral0^x-sin(x-t),f(t),dt + f(x) = -integral0^xsin(x-t),f(t),dt + f(x) = -y(x) + f(x)
Rearranjando, obtemos
y''(x) + y(x) = f(x)

Passo 4

Bastam agora as condições iniciais. Pela definição de y temos
y(0)=integral0^0sin(0-t),f(t),dt=0
E de y’(x) vimos que é uma integral de 0 a x, logo
y'(0)=integral0^0cos(0-t),f(t),dt=0

Passo 5

Portanto, mostramos que
y''+y=f(x),
com as condições iniciais y(0)=0 e y’(0)=0, como pedido.

Resposta

As condições finais são
y''+y=f(x), y(0)=0, y'(0)=0

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