Seja
uma função contínua em um intervalo
contendo a origem e seja
Prove que
e
, para todo
.
Passo 1
O enunciado define a função
com f contínua em I, e pede para mostrar que y satisfaz a equação diferencial
além de y(0)=y’(0)=0. Vamos usar a regra de Leibniz para diferenciar integrais dependentes do limite e do integrando.
Passo 2
Para calcular y’(x) aplicamos a regra de Leibniz:
- Derivada do integrando em relação a x (mantendo o limite):
. - Soma-se o termo de avaliação no limite superior, que é
, pois .
Logo,
Passo 3
Agora derivamos mais uma vez para achar y’’(x):
- Pelo mesmo raciocínio,
. - No limite superior, surge
, pois .
Assim,
Rearranjando, obtemos
Passo 4
Bastam agora as condições iniciais. Pela definição de y temos
E de y’(x) vimos que é uma integral de 0 a x, logo
Passo 5
Portanto, mostramos que
com as condições iniciais y(0)=0 e y’(0)=0, como pedido.
Resposta
As condições finais são