Considere a função f(x)=x^3-11-x^2 cujo domínio é D=R backslash-1,1.
Use as regras de derivação para mostrar que f^prime(x)=-x(x+2)(1+x)^2 para x in D.

Passo 1

Estamos lidando com a derivada da função f(x)=x^3-11-x^2, cujo domínio é Rsetminus-1,1. O conteúdo principal aqui é a regra do quociente e a derivada de potências: vamos precisar da derivada de x^n e da fórmula da regra do quociente.

Passo 2

Definimos as funções auxiliares para aplicar a regra do quociente: seja u(x)=x^3-1 e v(x)=1-x^2. Então calculamos suas derivadas usando a regra de potência:
u'(x)=3x^2, v'(x)=-2x

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente, que diz que
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2
Substituindo u, u', v, v':
f'(x)=3x^2(1-x^2)-(x^3-1)(-2x)(1-x^2)^2

Passo 4

Agora simplificamos o numerador. Primeiro expandimos:
3x^2(1-x^2)=3x^2-3x^4, -(x^3-1)(-2x)=+2x^4-2x
Somando esses termos obtemos
3x^2-3x^4+2x^4-2x=-x^4+3x^2-2x

Passo 5

Em seguida, fatoramos tanto numerador quanto denominador. No numerador:
-x^4+3x^2-2x=-xl(x^3-3x+2r)=-x(x-1)^2(x+2)
No denominador usamos 1-x^2=(1-x)(1+x)=-(x-1)(1+x), logo
(1-x^2)^2=(x-1)^2(x+1)^2

Passo 6

Como xneqpm1, podemos cancelar (x-1)^2 de numerador e denominador. Assim chegamos ao resultado final:
f'(x)=-x(x+2)(x+1)^2

Resposta

f'(x)=-x(x+2)(1+x)^2

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