Determine se cada sequência abaixo é crescente, decrescente ou não-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente: Indique se a sequência é convergente ou divergente.
(-1)^nn+1

Passo 1

Temos a sequência an = (-1)^nn+1. O conteúdo aqui é análise de sequências: identificação de monotonicidade, verificação de limites de maioria e menoria (boundedness) e convergência ou divergência. Vamos precisar estudar o comportamento das parcelas, seus sinais e valores absolutos, e usar o conceito de limite de sequência.

Passo 2

Para ter uma intuição, calculemos as primeiras parcelas. Quando n=0, a0=(-1)^01=1. Para n=1, a1=-tfrac12. Para n=2, a2=tfrac13. Para n=3, a3=-tfrac14. Ou seja, os termos alternam de sinal, e o valor absoluto |an|=1/(n+1) decresce.

Passo 3

Como os sinais dos termos mudam a cada passo, não existe um aumento ou uma queda constantes. Logo, a sequência não é nem crescente nem decrescente, ou seja, é não-monótona.

Passo 4

Note que o maior valor ocorre em n=0 e vale 1, e o menor em n=1 valendo -1/2. Para todo n>=0 temos
-tfrac12 <= an <= 1.
Isso mostra que a sequência é limitada superiormente (por 1) e limitada inferiormente (por -1/2).

Passo 5

Para a convergência, observe que |an|=1/(n+1)to0 quando ntoinfty. Além disso, como
-tfrac1n+1 <= an <= tfrac1n+1,
pelo Teorema do Confronto segue que anto0. Portanto, a sequência é convergente.

Resposta

A sequência não é monótona (não-monótona), é limitada superiormente (por 1) e inferiormente (por ângulo -1/2) e é convergente com limite 0.

Exercícios relacionados