Determine se cada sequência abaixo é crescente, decrescente ou não-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente: Indique se a sequência é convergente ou divergente.
Passo 1
Temos a sequência
. O conteúdo aqui é análise de sequências: identificação de monotonicidade, verificação de limites de maioria e menoria (boundedness) e convergência ou divergência. Vamos precisar estudar o comportamento das parcelas, seus sinais e valores absolutos, e usar o conceito de limite de sequência.
Passo 2
Para ter uma intuição, calculemos as primeiras parcelas. Quando
,
. Para
,
. Para
,
. Para
,
. Ou seja, os termos alternam de sinal, e o valor absoluto
decresce.
Passo 3
Como os sinais dos termos mudam a cada passo, não existe um aumento ou uma queda constantes. Logo, a sequência não é nem crescente nem decrescente, ou seja, é não-monótona.
Passo 4
Note que o maior valor ocorre em
e vale 1, e o menor em
valendo
. Para todo
temos
.
Isso mostra que a sequência é limitada superiormente (por 1) e limitada inferiormente (por ).
Isso mostra que a sequência é limitada superiormente (por 1) e limitada inferiormente (por
Passo 5
Para a convergência, observe que
quando
. Além disso, como
pelo Teorema do Confronto segue que . Portanto, a sequência é convergente.
pelo Teorema do Confronto segue que
Resposta
A sequência não é monótona (não-monótona), é limitada superiormente (por 1) e inferiormente (por ângulo -1/2) e é convergente com limite 0.