Escreva os cinco primeiros elementos da sequência de somas parciais
e, se possível/viável, obtenha uma fórmula para
termos de
. Determine também se a série é convergente ou divergente, se for convergente, encontre sua soma:
(e)
(e)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que analisar a série infinita
. Precisamos:
- Escrever os cinco primeiros elementos das somas parciais
. - Se possível, encontrar uma fórmula geral para
em termos de . - Determinar se a série converge ou diverge. Se convergir, encontrar sua soma.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries geométricas e somas parciais.
Passo 2
Vamos começar calculando os cinco primeiros termos da série dada:
A série é
.
Vamos calcular os termos para
até
:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Passo 3
Agora, vamos calcular as somas parciais
, que são a soma dos primeiros
termos da série.
Passo 4
Agora, vamos tentar encontrar uma fórmula geral para
. Observamos que a série é geométrica, pois cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante
.
A soma dos primeiros
termos de uma série geométrica é dada por:
onde
é o primeiro termo e
é a razão.
No nosso caso,
e
. Assim,
Passo 5
Para determinar se a série converge ou diverge, vamos analisar o limite da soma parcial quando
tende ao infinito.
Como o limite existe e é finito, a série converge.
Passo 6
Finalmente, como a série converge, a soma da série é igual ao limite calculado:
Resposta
Os cinco primeiros elementos das somas parciais são
,
,
,
e
. A fórmula geral para
é
. A série é convergente e sua soma é igual a
.