Escreva os cinco primeiros elementos da sequência de somas parciais sn e, se possível/viável, obtenha uma fórmula para sn em termos de n. Determine também se a série é convergente ou divergente, se for convergente, encontre sua soma:
(e) sumn=1^infty 2^n-13^n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que analisar a série infinita sumn=1^infty 2^n-13^n. Precisamos:
  1. Escrever os cinco primeiros elementos das somas parciais sn.
  2. Se possível, encontrar uma fórmula geral para sn em termos de n.
  3. Determinar se a série converge ou diverge. Se convergir, encontrar sua soma.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries geométricas e somas parciais.

Passo 2

Vamos começar calculando os cinco primeiros termos da série dada:
A série é sumn=1^infty 2^n-13^n.
Vamos calcular os termos para n=1 até n=5:
  • Para n=1: 2^1-13^1 = 2^03 = 13
  • Para n=2: 2^2-13^2 = 2^19 = 29
  • Para n=3: 2^3-13^3 = 2^227 = 427
  • Para n=4: 2^4-13^4 = 2^381 = 881
  • Para n=5: 2^5-13^5 = 2^4243 = 16243

Passo 3

Agora, vamos calcular as somas parciais sn, que são a soma dos primeiros n termos da série.
  • s1 = 13
  • s2 = 13 + 29 = 39 + 29 = 59
  • s3 = 59 + 427 = 1527 + 427 = 1927
  • s4 = 1927 + 881 = 5781 + 881 = 6581
  • s5 = 6581 + 16243 = 195243 + 16243 = 211243

Passo 4

Agora, vamos tentar encontrar uma fórmula geral para sn. Observamos que a série é geométrica, pois cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante r = 23.
A soma dos primeiros n termos de uma série geométrica é dada por:
sn = a1(1 - r^n)1 - r
onde a1 é o primeiro termo e r é a razão.
No nosso caso, a1 = 13 e r = 23. Assim,
sn = 13(1 - (23)^n)1 - 23 = 13(1 - (23)^n)13 = 1 - (23)^n

Passo 5

Para determinar se a série converge ou diverge, vamos analisar o limite da soma parcial quando n tende ao infinito.
limn to infty sn = limn to infty (1 - (23)^n) = 1 - 0 = 1
Como o limite existe e é finito, a série converge.

Passo 6

Finalmente, como a série converge, a soma da série é igual ao limite calculado:
sumn=1^infty 2^n-13^n = 1

Resposta

Os cinco primeiros elementos das somas parciais são s1 = 13, s2 = 59, s3 = 1927, s4 = 6581 e s5 = 211243. A fórmula geral para sn é sn = 1 - (23)^n. A série é convergente e sua soma é igual a 1.

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