Considere a função
F(w)=cc 1, & -1100 pi <= w <= 1100 pi 0, & caso contrário á
e a função
g(t)=4 cos (1568 pi t)+2 cos (2352 pi t)+3 cos (3136 pi t)
Neste exercício, as frequência estão dadas em radianos por segundo. Responda os itens.
b) (0.25 ponto) Mostre que F^-1pi de

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a transformada inversa de Fourier de
F(w)=pi,de
é exatamente cos(w0 t). Vamos usar definição de transformada inversa e propriedades do delta.

Passo 2

A definição da transformada inversa de Fourier (com a convenção mais comum em processamento de sinais) é
f(t)=12piintegral-infty^+inftyF(w),e^j w t ,dw
Aqui vamos usar a propriedade do delta de que
integral-infty^+inftyde
para qualquer função g.

Passo 3

Substituindo F(w)=pi,de na definição:
f(t)=12piintegral-infty^+inftyl[pi,de
Quebrando em duas integrais e extraindo o fator pi/(2pi)=1/2:
f(t)=12integralde

Passo 4

Aplicando a propriedade do delta em cada integral temos:
  • integralde
  • integralde
    Então
f(t)=12l(e^j w0 t+e^-j w0 tr)

Passo 5

Reconhecendo a identidade de Euler para cosseno:
cos(w0 t)=e^j w0 t+e^-j w0 t2,
concluímos que
f(t)=cos(w0 t), exatamente o que queríamos mostrar.

Resposta

cos(w0 t)

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