Considere a função
e a função
Neste exercício, as frequência estão dadas em radianos por segundo. Responda os itens.
c) (0.75 ponto) Calcule
.
c) (0.75 ponto) Calcule
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier de
g(t)=4\cos(1568\pi t)+2\cos(2352\pi t)+3\cos(3136\pi t), onde as frequências estão em rad/s. Vamos usar propriedades básicas da transformada de Fourier para funções periódicas.
g(t)=4\cos(1568\pi t)+2\cos(2352\pi t)+3\cos(3136\pi t), onde as frequências estão em rad/s. Vamos usar propriedades básicas da transformada de Fourier para funções periódicas.
Passo 2
A transformada de Fourier é linear, então podemos tratar cada termo separadamente. Além disso, a propriedade fundamental que vamos usar é:
A transformada de Fourier de
é:
$$
\mathcal{F}{\cos(\omega_0 t)}(w)=\pi\bigl[\delta(w-\omega_0)+\delta(w+\omega_0)$$.
]
]
Aqui
é a função impulso de Dirac.
Passo 3
Agora aplicamos essa propriedade a cada termo de
e usamos linearidade:
Para
:
$$
4\cdot\pi\bigl[\delta(w-1568\pi)+\delta(w+1568\pi)$$.
]
]
Para
:
$$
2\cdot\pi\bigl[\delta(w-2352\pi)+\delta(w+2352\pi)$$.
]
]
Para
:
$$
3\cdot\pi\bigl[\delta(w-3136\pi)+\delta(w+3136\pi)$$.
]
]
Passo 4
Somando todos esses resultados (pela propriedade da soma), obtemos
como a soma dos impulsos ponderados por cada amplitude.
Passo 5
Pronto! Esse é o resultado final para a transformada
.
Resposta
$$
G(w)=4\pi\bigl[\delta(w-1568\pi)+\delta(w+1568\pi)$$!+
2\pi\bigl[\delta(w-2352\pi)+\delta(w+2352\pi)]!+
3\pi\bigl[\delta(w-3136\pi)+\delta(w+3136\pi)].
]
2\pi\bigl[\delta(w-2352\pi)+\delta(w+2352\pi)]!+
3\pi\bigl[\delta(w-3136\pi)+\delta(w+3136\pi)].
]