Considere a função
F(w)=cc 1, & -1100 pi <= w <= 1100 pi 0, & caso contrário á
e a função
g(t)=4 cos (1568 pi t)+2 cos (2352 pi t)+3 cos (3136 pi t)
Neste exercício, as frequência estão dadas em radianos por segundo. Responda os itens.
c) (0.75 ponto) Calcule G(w)=Fg(t).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de
g(t)=4\cos(1568\pi t)+2\cos(2352\pi t)+3\cos(3136\pi t), onde as frequências estão em rad/s. Vamos usar propriedades básicas da transformada de Fourier para funções periódicas.

Passo 2

A transformada de Fourier é linear, então podemos tratar cada termo separadamente. Além disso, a propriedade fundamental que vamos usar é:
A transformada de Fourier de cos(omega0 t) é:
$$
\mathcal{F}{\cos(\omega_0 t)}(w)=\pi\bigl[\delta(w-\omega_0)+\delta(w+\omega_0)$$.
]
Aqui Fcos(omega0 t)(w)=pil[de é a função impulso de Dirac.

Passo 3

Agora aplicamos essa propriedade a cada termo de g(t) e usamos linearidade:
Para 4cos(1568pi t):
$$
4\cdot\pi\bigl[\delta(w-1568\pi)+\delta(w+1568\pi)$$.
]
Para 4cdotpil[de:
$$
2\cdot\pi\bigl[\delta(w-2352\pi)+\delta(w+2352\pi)$$.
]
Para 2cos(2352pi t):
$$
3\cdot\pi\bigl[\delta(w-3136\pi)+\delta(w+3136\pi)$$.
]

Passo 4

Somando todos esses resultados (pela propriedade da soma), obtemos G(w) como a soma dos impulsos ponderados por cada amplitude.

Passo 5

Pronto! Esse é o resultado final para a transformada G(w).

Resposta

$$
G(w)=4\pi\bigl[\delta(w-1568\pi)+\delta(w+1568\pi)$$!+
2\pi\bigl[\delta(w-2352\pi)+\delta(w+2352\pi)]!+
3\pi\bigl[\delta(w-3136\pi)+\delta(w+3136\pi)].
]

Exercícios relacionados