Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
x^prime+(10-5) x=2 e^4 t, x(0)=0

Passo 1

Estamos resolvendo o problema de valor inicial x'(t) + (10 - 5)x(t) = 2e^4t, com x(0)=0. Isso é uma EDO linear de primeira ordem com coeficiente constante, e usaremos o método do fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo o coeficiente (10 - 5)=5, colocamos a equação na forma padrão:
x'(t) + 5,x(t) = 2e^4t
O fator integrante é
mu(t) = e^integral 5,dt = e^5t
Multiplicando toda a equação por e^5t, temos
e^5tx'(t) + 5e^5tx(t) = 2e^5te^4t = 2e^9t
O lado esquerdo é a derivada do produto:

Passo 3

Identificamos
ddtl(e^5tx(t)r) = 2e^9t
Agora integramos ambos os lados em relação a t:

Passo 4

Fazendo a integral,
e^5tx(t) = integral 2e^9t,dt = 29e^9t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial x(0)=0:
e^0x(0) = 0 = 29e^0 + C implies C = -29
Logo,
e^5tx(t) = 29e^9t - 29 = 29l(e^9t - 1r)
Isolando x(t) obtemos a solução.

Passo 6

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