Considere a função
F(w)=cc 1, & -1100 pi <= w <= 1100 pi 0, & caso contrário á
e a função
g(t)=4 cos (1568 pi t)+2 cos (2352 pi t)+3 cos (3136 pi t)
Neste exercício, as frequência estão dadas em radianos por segundo. Responda os itens.
a) (0.5 ponto) Calcule f(t)=F^-1F(w).

Passo 1

O enunciado dá a função em frequência F(ω) definida como retângulo de magnitude 1 em [ -1100π,1100π ] e pede para achar f(t)=ℱ^-1F(ω). O conteúdo é Transformada de Fourier inversa de um pulso retangular.

Passo 2

Usamos a definição de Transformada de Fourier inversa:
f(t)=12πintegral-∞^+∞F(ω)e^jωt,dω
Como F(ω)=1 para |ω|≤1100π e zero caso contrário, restringimos a integral a esse intervalo.

Passo 3

A integral a calcular é
integral-1100π^1100πe^jωt,dω
Fazendo a primitivação em ω obtemos
integral e^jωtdω=e^jωtjt,
avaliada de -1100π a 1100π resulta em
e^j1100πt-e^-j1100πtjt=2jsin(1100πt)jt=2sin(1100πt)t

Passo 4

Multiplicando pelo fator 1/(2π) da inversa, chegamos a
f(t)=12πcdot2sin(1100πt)t=1π,sin(1100πt)t

Resposta

f(t)=1π,sinl(1100,π,tr)t.

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