Considere a função f(x, y)=12 x+2 y^2-6 x y^2+2 ln (x y) e P(1,1).
A derivada direcional de f(x, y), em P(1,1), na direção do vetor v=(-3,4), é square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x, y) = 12x + 2y^2 - 6xy^2 + 2\ln(xy) $ e o ponto $ P(1,1) $. A questão pede para encontrar a derivada direcional dessa função em $ P(1,1) $ na direção do vetor $ \vec{v} = (-3,4) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, como gradiente e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é derivada direcional. Ela indica como a função muda na direção de um vetor específico. Para calcular isso, usamos o gradiente da função e o produto escalar com o vetor diretor.

Passo 3

Vamos encontrar o gradiente $ \nabla f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $. Então, vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $.

Passo 4

Calculando $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
partial fpartial x
Calculando $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
partial fpartial x = 12 - 6y^2 + 2x

Passo 5

Agora, avaliamos o gradiente no ponto $ P(1,1) $:
P(1,1)
partial fpartial x|(1,1) = 12 - 6(1)^2 + 21 = 12 - 6 + 2 = 8
Portanto, $ \nabla f(1,1) = (8, -6) $.

Passo 6

Agora, precisamos normalizar o vetor $ \vec{v} = (-3,4) $ para ficar unitário. A normalização é feita dividindo cada componente do vetor pelo seu módulo.
Calculamos o módulo de $ \vec{v} $:
v = (-3,4)
Então, o vetor unitário $ \vec{u} $ é:
v

Passo 7

Finalmente, a derivada direcional $ D_{\vec{u}}f(1,1) $ é o produto escalar do gradiente $ \nabla f(1,1) $ com o vetor unitário $ \vec{u} $:
Duf(1,1)

Resposta

A derivada direcional de $ f(x, y) $ em $ P(1,1) $ na direção de $ \vec{v}=(-3,4) $ é $ -\frac{48}{5} $.

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