Considere a função
e
.
A derivada direcional de
, em
, na direção do vetor
, é
A derivada direcional de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x, y) = 12x + 2y^2 - 6xy^2 + 2\ln(xy) $ e o ponto $ P(1,1) $. A questão pede para encontrar a derivada direcional dessa função em $ P(1,1) $ na direção do vetor $ \vec{v} = (-3,4) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, como gradiente e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é derivada direcional. Ela indica como a função muda na direção de um vetor específico. Para calcular isso, usamos o gradiente da função e o produto escalar com o vetor diretor.
Passo 3
Vamos encontrar o gradiente $ \nabla f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $. Então, vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Passo 4
Calculando $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
Calculando $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
Passo 5
Agora, avaliamos o gradiente no ponto $ P(1,1) $:
Portanto, $ \nabla f(1,1) = (8, -6) $.
Passo 6
Agora, precisamos normalizar o vetor $ \vec{v} = (-3,4) $ para ficar unitário. A normalização é feita dividindo cada componente do vetor pelo seu módulo.
Calculamos o módulo de $ \vec{v} $:
Então, o vetor unitário $ \vec{u} $ é:
Passo 7
Finalmente, a derivada direcional $ D_{\vec{u}}f(1,1) $ é o produto escalar do gradiente $ \nabla f(1,1) $ com o vetor unitário $ \vec{u} $:
Resposta
A derivada direcional de $ f(x, y) $ em $ P(1,1) $ na direção de $ \vec{v}=(-3,4) $ é $ -\frac{48}{5} $.