Considere a função f(x, y)=12 x+2 y^2-6 x y^2+2 ln (x y) e P(1,1).
Podemos afirmar que, em P(1,1), existe direção em que a taxa de variação da função é igual a -10? uparrow
OBS: DIGITAR OS CAMPOS NUMÉRICOS UTILIZANDO NOTAÇÃO DECIMAL E COM ATÉ UMA CASA DECIMAL, QUANDO COUBER!!!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar a função $ f(x, y) = 12x + 2y^{2} - 6xy^{2} + 2\ln(xy) $ no ponto $ P(1,1) $. A pergunta é: existe uma direção nesse ponto onde a taxa de variação da função é igual a -10? Para resolver isso, vamos precisar entender de derivadas direcionais e gradientes. Basicamente, vamos calcular o gradiente da função em $ P(1,1) $ e ver se conseguimos encontrar uma direção que satisfaça a condição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $.
Vamos calcular $ f_x $ e $ f_y $:
f(x, y)
x

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto $ P(1,1) $.
Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 1 $ nas expressões de $ f_x $ e $ f_y $:
P(1,1)
x = 1
Portanto, o gradiente no ponto $ P(1,1) $ é:
y = 1

Passo 4

A derivada direcional da função $ f $ na direção de um vetor unitário $ \mathbf{u} = (u_x, u_y) $ é dada por:
f
Queremos que essa derivada direcional seja igual a -10:
u = (ux, uy)
Além disso, como $ \mathbf{u} $ é um vetor unitário, ele deve satisfazer:
Duf = nabla f cdot u = 8ux - 6uy

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
8ux - 6uy = -10 ux^2 + uy^2 = 1
Primeiro, isolamos $ u_x $ na primeira equação:
ux
Agora, substituímos $ u_x $ na segunda equação:
8ux - 6uy = -10 implies 8ux = -10 + 6uy implies ux = -10 + 6uy8 = -5 + 3uy4
Expandindo:
ux
Multiplicando tudo por 16 para eliminar o denominador:
( -5 + 3uy4 )^2 + uy^2 = 1
Simplificando:
25 - 30uy + 9uy^216 + uy^2 = 1

Passo 6

Vamos resolver a equação quadrática $ 25u_y^{2} - 30u_y + 9 = 0 $.
Calculando o discriminante $ \Delta $:
25uy^2 - 30uy + 9 = 0
Como $ \Delta = 0 $, há uma única solução real:
De
Agora, substituímos $ u_y = 0,6 $ na expressão de $ u_x $:
De
Então, o vetor direção é $ \mathbf{u} = (-0,8, 0,6) $.

Resposta

Sim, existe uma direção $ \mathbf{u} = (-0,8, 0,6) $ em que a taxa de variação da função $ f $ no ponto $ P(1,1) $ é igual a -10.

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