Considere a função
e
.
Podemos afirmar que, em
, existe direção em que a taxa de variação da função é igual a -10?
OBS: DIGITAR OS CAMPOS NUMÉRICOS UTILIZANDO NOTAÇÃO DECIMAL E COM ATÉ UMA CASA DECIMAL, QUANDO COUBER!!!
Podemos afirmar que, em
OBS: DIGITAR OS CAMPOS NUMÉRICOS UTILIZANDO NOTAÇÃO DECIMAL E COM ATÉ UMA CASA DECIMAL, QUANDO COUBER!!!
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar a função $ f(x, y) = 12x + 2y^{2} - 6xy^{2} + 2\ln(xy) $ no ponto $ P(1,1) $. A pergunta é: existe uma direção nesse ponto onde a taxa de variação da função é igual a -10? Para resolver isso, vamos precisar entender de derivadas direcionais e gradientes. Basicamente, vamos calcular o gradiente da função em $ P(1,1) $ e ver se conseguimos encontrar uma direção que satisfaça a condição dada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $.
Vamos calcular $ f_x $ e $ f_y $:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto $ P(1,1) $.
Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 1 $ nas expressões de $ f_x $ e $ f_y $:
Portanto, o gradiente no ponto $ P(1,1) $ é:
Passo 4
A derivada direcional da função $ f $ na direção de um vetor unitário $ \mathbf{u} = (u_x, u_y) $ é dada por:
Queremos que essa derivada direcional seja igual a -10:
Além disso, como $ \mathbf{u} $ é um vetor unitário, ele deve satisfazer:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações:
Primeiro, isolamos $ u_x $ na primeira equação:
Agora, substituímos $ u_x $ na segunda equação:
Expandindo:
Multiplicando tudo por 16 para eliminar o denominador:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver a equação quadrática $ 25u_y^{2} - 30u_y + 9 = 0 $.
Calculando o discriminante $ \Delta $:
Como $ \Delta = 0 $, há uma única solução real:
Agora, substituímos $ u_y = 0,6 $ na expressão de $ u_x $:
Então, o vetor direção é $ \mathbf{u} = (-0,8, 0,6) $.
Resposta
Sim, existe uma direção $ \mathbf{u} = (-0,8, 0,6) $ em que a taxa de variação da função $ f $ no ponto $ P(1,1) $ é igual a -10.