Considere a função f(x)=13 x^3-2 x^2+3 x+1.
i) Calcule a derivada f^prime e a segunda derivada f^prime prime.
ii) Encontre os pontos críticos de f, ou seja, os pontos onde f^prime(x)=0.
iii) Quais são os pontos de máximo/mínimo locais?
iv) Quais são os pontos de máximo/mínimo globais?
v) Considerando apenas o intervalo [0,10], quais são os pontos de máximo/mínimo absolutos?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=13x^3 - 2x^2 + 3x +1
e pede: i) derivada e segunda derivada; ii) pontos críticos ( f'=0); iii) classificação local (máximos ou mínimos); iv) existência de extremos globais em R; v) extremos absolutos no intervalo [0,10]. Vamos usar regra de derivação polinomial, teste da segunda derivada, e avaliar comportamento em infinito e em extremos de intervalo fechado.

Passo 2

Calculamos a derivada usando ddxx^n = n x^n-1:
f'(x) = ddxl(tfrac13x^3r) - ddx(2x^2) + ddx(3x) + ddx(1) = x^2 - 4x + 3
Aplicando de novo para a segunda derivada:
f''(x) = ddx(x^2 - 4x + 3) = 2x - 4

Passo 3

Os pontos críticos são soluções de f'(x)=0, ou seja
x^2 - 4x + 3 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau:
x = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22 ;Longrightarrow; x=1 ou x=3

Passo 4

Para classificar localmente usamos o sinal de f'' nesses pontos:
  • Em x=1, f''(1)=2cdot1 -4 = -2 < 0, logo f tem máximo local em x=1.
  • Em x=3, f''(3)=2cdot3 -4 = 2 > 0, logo f tem mínimo local em x=3.

Passo 5

Como limxto+inftyf(x)=+infty e limxto-inftyf(x)=-infty (polinômio de grau ímpar com coeficiente positivo em x^3), não há máximo ou mínimo global em todo R.

Passo 6

No intervalo fechado [0,10], por Teorema do Valor Extremo, avaliamos f nos pontos críticos internos e nas bordas:
f(0)=1, f(1)=tfrac13-2+3+1 = tfrac73, f(3)=9-18+9+1 =1, f(10)=tfrac10003 -200 +30 +1 = tfrac4933

Passo 7

Comparando valores em [0,10]:
  • Menor valor é 1, atingido em x=0 e x=3, portanto mínimos absolutos nesses pontos.
  • Maior valor é tfrac4933, atingido em x=10, portanto máximo absoluto aí.

Resposta

i)
f'(x)=x^2-4x+3, f''(x)=2x-4
ii) Pontos críticos: x=1 e x=3.
iii) Máximo local em x=1, mínimo local em x=3.
iv) Não existem extremos globais em R (vai a -infty e +infty).
v) No intervalo [0,10]: mínimos absolutos em x=0 e x=3 (valores 1), máximo absoluto em x=10 (valor tfrac4933).

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