Considere a função
.
i) Calcule a derivada
e a segunda derivada
.
ii) Encontre os pontos críticos de
, ou seja, os pontos onde
.
iii) Quais são os pontos de máximo/mínimo locais?
iv) Quais são os pontos de máximo/mínimo globais?
v) Considerando apenas o intervalo
, quais são os pontos de máximo/mínimo absolutos?
i) Calcule a derivada
ii) Encontre os pontos críticos de
iii) Quais são os pontos de máximo/mínimo locais?
iv) Quais são os pontos de máximo/mínimo globais?
v) Considerando apenas o intervalo
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: i) derivada e segunda derivada; ii) pontos críticos (
); iii) classificação local (máximos ou mínimos); iv) existência de extremos globais em
; v) extremos absolutos no intervalo
. Vamos usar regra de derivação polinomial, teste da segunda derivada, e avaliar comportamento em infinito e em extremos de intervalo fechado.
Passo 2
Calculamos a derivada usando
:
Aplicando de novo para a segunda derivada:
Passo 3
Os pontos críticos são soluções de
, ou seja
Resolvendo a equação do segundo grau:
Passo 4
Para classificar localmente usamos o sinal de
nesses pontos:
- Em
, logo tem máximo local em . - Em
, logo tem mínimo local em .
Passo 5
Como
e
(polinômio de grau ímpar com coeficiente positivo em
), não há máximo ou mínimo global em todo
.
Passo 6
No intervalo fechado
, por Teorema do Valor Extremo, avaliamos
nos pontos críticos internos e nas bordas:
Passo 7
Comparando valores em
:
- Menor valor é
, atingido em e , portanto mínimos absolutos nesses pontos. - Maior valor é
, atingido em , portanto máximo absoluto aí.
Resposta
i)
ii) Pontos críticos:
e
.
iii) Máximo local em , mínimo local em
.
iv) Não existem extremos globais em (vai a
e
).
v) No intervalo : mínimos absolutos em
e
(valores
), máximo absoluto em
(valor
).
iii) Máximo local em
iv) Não existem extremos globais em
v) No intervalo